retour à l'accueil
aide-mémoire ece2

ne reprenant que les formules vues pour la première fois en e.c.e. Les démonstrations des résultats précédés d'une étoile (*) sont à connaître.

algèbre linéaire

formule du rang : pour f linéaire de E dans F :  dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(E)

formule du binôme : avec A et B matrices carrées qui commutent :

 

techniques de base

suites numériques calculables

(un) SA de raison r " n un+1 = un + r (*) " n un = u0 + n.r
(un) SG de raison r " n un+1 = r.u(*) " n un = u0.rn = u1.rn-1
(un) SAG un+1 = a.un + b : (*) un - a = an.(u0 - a ) avec a tel que a = a.a + b (a 1)
(un) SLR2T     un+2 = a.un+1 + b.un :
l'équation caractéristique r2 = a.r +b a 
 

sommations  (x différent de 1)
 (*)    (*) (*)
 

nombres  est le nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments
si 0 < p <  n ,  = 0 si p < 0 ou p > n


 
 

analyse

séries
· séries géométrique et dérivées :
 

· série exponentielle :

· série de Riemann :
la série de terme général , n Î N*, est convergente ssi a > 1, divergente ssi a £ 1
 

équivalents classiques
(*) ex - 1 ~0 x       (*) ln(1 + x) ~0 x        (*) ln(x) ~1 x - 1
voir aussi D.L.
 

intégrales

sommes de Riemann : avec f continue sur [a, b] :

 

formule de Taylor avec reste intégral pour f de classe Cn+1 sur I intervalle, a et t appartenant à` I :

développements limités (D.L) au voisinage de 0 ()



par substitution de -x à x

par intégration du D.L. de 

par substitution de -x à x

qui fournit les D.L. de


 
 

probabilités

conditionnement P(A/B) = PB (A) =  avec P(B) 0

formule des probabilités composées : P(AB) = P(A).P(B/A)

(Ai) système complet d'événements :"i, P(Ai) différent de 0 ; " i différent de j, AiAj

formule des probabilités totales : avec (Ai) système complet d'événements

espérance, variance
 
X v.a. discrète 



X v.a. de densité f 



avec j Î C1(R) et strictement monotone 

V(X) = E( [X - E(X)]2) (def) 
V(X) = E(X2) - E(X)2 (thm)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX + b) = a2V(X)

couple de v.a. discrètes

loi du couple : pij = P(X = xi et Y = yj) pour tout xi Î X(W ) et tout yj Î Y(W )

cov(X,Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]) (def)
                = E(XY) -E(X)E(Y) (thm)
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2cov(X,Y) généralisation :

coefficient de corrélation linéaire : rX,Y

lois discrètes usuelles

· X v.a certaine : X(W ) = {c}; P(X = c) = 1        E(X) = c        V(X) = 0

· X suit la loi de Bernoulli B(1, p) de paramètre p Î ]0, 1[ ssi :
X(W ) ={0, 1}; P(X = 1) = 0 ; P(X = 0) = 1 - p.
E(X) = p        V(X) = p(1 - p).

· X suit la loi binomiale B(n, p) avec n Î N, p Î ]0, 1[ ssi :
X(W ) = [[0, n]] ; " k Î [[0, n]], P(X = k) = 
X est le nombre de succès lors de n épreuves identiques et indépendantes, la probabilité du succès à chaque épreuve étant p.
(*) E(X) = np        (*) V(X) = np(1- p).

· X suit la loi hypergéométrique H (N, n, p) avec n, N ÎN*, p Î ]0, 1[ ssi :
X(W ) Ì [[0, n]] ; " k Î [[0, n]] , P(X = k) =
X est le nombre d'individus présentant le caractère étudié dans un échantillon de n individus pris parmi N , le caractère étudié ayant la fréquence p dans la population des N individus.
(*) E(X) = np

· X suit la loi uniforme sur [[1,n]] ssi X(W ) = [[1, n]] et " k Î [[1, n]] P(X = k) = 1/n.

· X suit la loi de Poisson P(l ), avec l > 0, ssi :

(*) E(X) = l      (*) V(X) = l

· X suit la loi géométrique G(p), avec p Î ]0, 1[, ssi :

X est le temps d'attente du premier succès au cours d'épreuves successives et indépendantes.

lois continues usuelles

· X suit la loi uniforme U([a, b]) ssi X a pour densité f telle que :

X a pour fonction de répartition F telle que :

· X suit la loi exponentielle E(a ), avec a > 0, ssi X a pour densité f telle que :

X a pour fonction de répartition F telle que :

· X suit la loi normale N(m, s ), avec m ÎR, s > 0, ssi X* =  suit la loi normale N(0, 1) de f.r :
.
E(X) = m        V(X) = s2
 

Inégalité de Bienaymé-Tchébicheff

Pour X v.a d'espérance m et de variance s2 :

fonctions de deux variables

 
 
f(x0, y0) extremum local de f Þ p = q = 0 ( en (x0, y0) )
p = q = 0, rt - s2 > 0, r > 0 Þ f(x0, y0) minimum local
p = q = 0, rt - s2 > 0, r < 0 Þ f(x0, y0) maximum local
p = q = 0, rt - s2 < 0  Þ f(x0, y0) n'est pas un extremum local
p = q = 0, rt - s2 = 0  : on ne peut rien dire

retour début