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I. Primitives

1°) Définition Soit une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I ssi
F' = f sur I.

2°) Théorème
a) Soit f continue sur I. Alors f admet des primitives sur I (admis).
b) Soit F et G deux primitives f sur I. Alors il existe k appartenant à R tel que F = G + k sur I.
c) Soit f continue sur I. Pour tout x₀ dans I et tout y₀ dans R, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x₀) = y₀.

Dem de b) : Soit H = F - G. On a F' = f, G' = f, donc H ' = f - f = 0. Soit x et y quelconques dans I. appliquons la formule des accroissements finis à H : H ' = 0, donc ½ H ' ½ £ 0, et :
½ H(x) - H(y) ½£ 0 ½ x - y½ = 0.
Donc H(x) - H(y) = 0, H(x) = H(y) pour tout x, y dans I, donc H est une fonction constante k, H = F - G = k.

Dem de c) : existence : f est continue sur I, donc f admet des primitives sur I d'après a). Soit G l'une d'entre elles, et soit :
    F = G + k.
F est une primitive de f sur I, et :
    F(x₀) = y₀ ssi G(x₀) + k = y₀ ssi k = y₀ - F(x₀).
Unicité : Soit F₁ et F₂ deux primitives de f sur I telles que F₁(x₀) = F₂(y₀) = y₀. On a F₁ = F₂ + k d'après b , et
    k = F₁(x₀) - F₂(y₀) = 0, donc F₁ = F₂.

3°) Calcul des primitives

a) Fonctions usuelles

fonctions	primitives	intervalle (1)
a	ax + b	R
x a (a¹ -1) (2)		suivant la valeur de a : R, ou tout intervalle ne contenant pas 0, ou ]0, +¥ [
	ln ½ x½	tout intervalle ne contenant pas 0
ex	ex	R
cos(x)	sin(x)	R
sin(x)	-cos(x)	R
ln(x)	x ln(x) - x	]0, +¥ [

(1) tout intervalle où la fonction à intégrér est continue convient.
(2) cas particuliers :

fonction	primitive	commentaire
x	x2/2	sur R
		sur ]0, +¥ [ ou ]-¥ , 0[ ; à retenir (la dérivée de 1/x est -1/x2 ...)
		sur ]0, +¥ [ ; à retenir (la dérivée de ...)

b) règles de calcul

fonction	primitive
u	U
v	V
au	aU
au + bv	aU + bV
uv	en général, pas UV...
u/v	en général, pas U/V
u' f(u) u' ua , a différent de -1 u'/u u'eu	F(u), avec F primitive de f ; en particulier : ua+1/(a +1) ln½ u½ eu ; etc... voir aussi changement de variable

II. intégrale sur un segment

1°) Définition Soit I un intervalle et f une fonction continue sur I. Pour tout a, b dans I, on a par définition :

avec F primitive de f sur I.

Remarques :
* f admet des primitives sur I car f est continue sur I.
* On vérifie sans peine que la valeur de l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie : soit G une autre primitive de f sur I, alors G = F + k, G(b) - G(a) = F(b) + k - (F(a) + k) = F(b) -F(a).
* Disposition pratique, sur un exemple :

On écrit dans le crochet une primitive de la fonction sous le signe "intégrale". Une primitive de e^-t est bien -e^-t, car la dérivée de e^-t est - e^-t , et donc la dérivée de - e^-t est e^-t (intégration "à vue").
* a et b peuvent être dans un ordre quelconque, voir l'exemple ci-dessus. Si a < b, on parle de l'intégrale de f sur le segment [a, b]. (Un segment de R est un intervalle de R fermé et borné.)
* Dans l'expression , a et b sont des variables libres, t est une variable muette : la valeur de l'intégrale dépend a priori de de a et b, mais pas de t. Ainsi :


* La définition ci-dessus n'est pas très intuitive, c'est pourquoi il convient d'avoir à l'esprit l'

2°) interprétation en termes d'aire
Soit f continue sur l'intervalle I, et soit a et b appartenant à I. Si a £ b et si f ³ 0 sur [a,b], alors :

avec D = { M(x,y) ; a £ x £ b et 0 £ y £ f(x) }.
D est le domaine plan limité, dans un repère orthogonal (O; i, j), par l'axe des abscisses, la courbe C_f, et les deux droites d'équation t = a, t = b. Cette aire est exprimée en unités d'aire (u.a) :

 

3°) Calculs d'intégrales

a) Formule du changement de variable Soit u une fonction de classe C¹ sur l'intervalle I = [a, b], et soit f continue sur l'intervalle u(I). On a alors :

Cette formule n'a pas à être mémorisée telle quelle, on l'applique facilement grâce à la notation différentielle : soit y = u(t), la dérivée u'(t) est notée dy/dt :

Exemple :

Avec le changement de variable y = e^t, on obtient :

Application : intégrale d'une fonction paire, impaire, périodique.Soient a et T deux réels positifs.
* Si f est continue et paire sur [-a, a] :

* Si f est continue est impaire sur [-a, a] :

* Si f est continue sur R et périodique de période T :

Dem: pour le premier point, on écrit en utilisant la relation de Chasles (voir plus loin, propriétés de l'intégrale) :

et on fait le changement de variable y = -t dans la première intégrale : dy = -dt, donc :

en utilisant le fait que f est paire ( f(-y) = f(y) ), puis la linéarité de l'intégrale, puis la relation de Chasles... Démonstrations analogues pour les deux autres points (faites les !)

b) Formule de l'intégration par parties Soit u et v de classe C¹ sur l'intervalle I, et soit a, b appartenant à I. Alors :

Exemple ; disposition pratique

	u = t v' = et	u' = 1 v = et

u et v sont de classe C¹sur [0,1]. On obtient I = 1.

4°) propriétés de l'intégrale

a) Propriétés élémentaires

b) Relation de Chasles Avec f continue sur I, et a, b, c appartenant à I :

On en déduit, avec c = a :

Application : Calculer :

c) Linéarité Avec f, g continues sur I, a et b appartenant à I et a et b appartenant à R :

d) positivité, croissance
* Avec a £ b et f ³ 0 sur [a, b] :

* Avec a £ b et f £ g sur [a,b] :

Démonstration : pour le premier point, soit F une primitive de f sur [a, b] ; F' = f ³ 0, donc F est croissante sur [a, b], donc F(b) ³ F(a). Pour le deuxième point, remarquer que g -f ³ 0 et appliquer le premier point, puis la linéarité de l'intégrale.

Application : signe de l'intégrale.

Si a £ b et si f ³ 0 , alors I ³ 0 ;
Si a £ b et si f £ 0 , alors I £ 0 ;
Si a ³ b et si f ³ 0 , alors I £ 0 ;
Si a ³ b et si f £ 0 , alors I ³ 0 ;

Utilisation : encadrement, majoration, minoration d'une intégrale.
Pour encadrer, majorer, minorer une intégrale, on encadre,majore, minore la fonction à intégrer, puis on intègre les inégalités obtenues, en veillant à ce que les bornes soient "dans le bon sens". Exemple :

Pour le premier encadrement, il suffit de remarquer que pour tout t élément de [0, 1] :
0 £ tⁿ/(1+t²) £ 1/(1+t²) £ 1, donc :
.
Pour le deuxième encadrement, il faut jouer plus subtilement : pour tout t élément de [0, 1], 1 + t² ³ 1, donc 1/(1+t²) £ 1, et tⁿ/(1+t²) £ tⁿ. On a :

La suite (I_n) est donc encadrée par deux suites de limite nulle, sa limite est donc égale à 0. Remarquer comment on a procédé pour la majoration de tⁿ/(1+t²) :
Pour MAJORER un quotient de nombres POSITIFS, on MAJORE le numérateur, et on MINORE le dénominateur.

e) Intégrale et valeur absolue Si a £ b et si ½ f ½£ M sur [a, b] :

Dem : Pour tout t appartenant à [a, b], on a f(t) £½ f(t)½ , et - f(t) £½ f(t)½ , donc :

La première inégalité à établir en résulte, car si A est tel que A £ B et - A £ B, alors ½ A½ £ B...
Pour la deuxième inégalité : Quelque soit t appartenant à [a, b] , ½ f(t)½£ M, donc...

f) Etude de l'intégrale fonction de sa borne supérieure
Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I, a un élément de I et soit F définie sur I par :

Théorème : F est la primitive de f sur I s'annulant en a. F est définie, continue, dérivable sur I, et
F' = f. F est croissante si f ³ 0, décroissante ssi f £ 0.
Dem : F est bien définie sur I car f est continue sur I et a et x appartiennent à I. Par définition de l'intégrale, on a :

avec j primitive de f sur I. F est donc la primitive de f sur qui s'annule en a, et les autres points en découlent.

Application : recherche de primitives. On désigne quelquefois une primitive de f (continue) sur I simplement par :

la variable étant alors x. Ceci peut permettre de déterminer une primitive de f par les techniques de calcul intégral : changement de variable, intégration par parties. Exemples :
* Soit à déterminer une primitive F de la fonction ln sur ]0, +¥ [. On a :

	v'(x) = 1	v(x) = x

(Intégration par parties, u et v sont de classe C¹ sur ]0, +¥ [ ). Une primitive de ln sur ]0, + 0[ est donc :

* Soit à déterminer une primitive G de la fonction f définie (et continue !) sur ]0, +¥ [ par f(x) =ln(x)/x.

changement de variable y = ln(x) :

III. Extension de la notion d'intégrale

Rappel : On a défini jusqu' ici l'intégrale de f sur le segment [a, b] quand est continue sur ce segment. Un segment est un intervalle fermé borné. Cette définition est susceptible dans certains cas d'une généralisation à des intervalles non fermés ou non bornés, et à des fonctions continues sur l'intervalle en question, sauf en un nombre fini de points.

1°) Extension à des fonctions continues sur [a, b[, prolongeables par continuité en b On pose alors

Les hypothèses permettent d'affirmer que cette limite existe et est finie (admis).

Exemple : Soit Montrons que l'intégrale I :

existe et calculons sa valeur.
Existence : La fonction qui à t associe t ln(t) est continue sur ]0, 1] ( produit de deux fonctions continues sur ]0, 1] ), et prolongeable par continuité en 0 ( lim_{t® 0} t ln(t) = 0). Donc I existe.
Calcul : Par définition :


(Intégration par parties avec u = ln(t), v' =t, u' = 1/t, v = t²/2. u et v sont de classe C¹ sur [x, 1]. Attention, u n'est pas de classe C¹ sur [0, 1] !) On obtient donc :

Finalement, I = -1/4.

2°) Extension à des fonctions continues par morceaux sur [a, b]

On dit que f est continue par morceaux sur [a, b] ssi f est continue sur [a, b] sauf en un nombre fini de points, où elle admet une limite finie à droite et à gauche.
Si par exemple les seuls point de dicontinuité de f sont c et d, on pose :

et les hypothèses faites assurent l'existence des trois intégrales du membre de droite.

3°)Extension à des intervalles non bornés ou non fermés (intégrales généralisées)

a) Soit f continue sur l'intervalle [a, +¥ [. On pose :

On dit alors que l'intégrale est convergente. Sinon, on dit qu'elle est divergente. En effet, contrairement au 1°), il n'est pas assuré que la limite existe et soit finie, voir exemples plus loin.

b) Soit f continue sur ]a, b]. On pose :

On dit alors que l'intégrale est convergente.

c) Soit f continue sur ]a, b[, -¥£ a < b £ +¥ . Soit c appartenant à ]a, b[. On pose :

SI les deux intégrales du membre de doite sont convergentes.

4°) Critères de convergence

a) Intégrales de Riemann Soit a un réel.

Démontrons le premier point : La fonction qui à t associe 1/t^a est continue sur ]0, 1], donc :

SI cette limite existe et est finie. Or :


x^{1- a}admet une limite finie en 0 ssi 1 - a > 0, ssi a< 1. -ln(x) n'admet pas une limite finie en 0. D'où la conclusion. Démonstration anlogue pour le deuxième point.

b) Fonctions positives Soient a, b tels que a < b £ +¥ .

Théorème 1. Soit f et g continues sur [a, b[, avec 0 £ f £ g.

Théorème 2. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b[, f ³ 0, g ³ 0, et f ~_b g (f et g équiventes au voisinage de b). Alors les intégrales sur [a, b[ de f et de g sont de même nature (simultanément convergentes ou divergentes).

Théorème 3. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b[, f ³ 0, g ³ 0, f = _b o(g) (f est négligeable devant g au voisinage de b).

Dem théorème 1. Pour le premier point, posons :

G est croissante car g ³ 0, G admet une limite finie L en b (la valeur de l'intégrale de g sur [a, b[), donc G(x) £ L pour tout x appartenant à [a, b[.
D'autre part F est croissante sur [a, b[ car f ³ 0 sur [a, b[, et, pour tout x appartenant à [a, b[ :

F est donc majorée sur [a,b[. Une fonction croissante et majorée sur [a, b[ admet une limite finie en b ; F admet donc une limite finie en b, ce qu'il fallait démontrer.
Pour le deuxième point, les hypothèses impliquent : F tend vers +¥ en b, puis G tend vers +¥ en b.

c) Fonctions de signe quelconque

Définition L'intégrale  est dite absolument convergente ssi l'intégrale  est convergente.

Théorème (admis) Une intégrale absolument convergente est convergente.

d) Cas des fonctions paires, impaires

Théorème * Soit f une fonction paire et continue sur R.

* Soit f une fonction impaire et continue sur R.

Dem : relation de Chasles avec 0 comme point intermédiaire, pour isoler le problème en -¥ et utiliser les propriétés de parité, changement de variable y = -t sur l'intervalle [x, 0], puis x ® -¥ .
 
 

IV. Sommes de Riemann

Théorème Soit f continue sur l'intervalle [a, b]. Alors :

Remarque : on a également :

Dem (dans le cas où f est de classe C¹sur [a, b]. Le résultat est admis dans le cas où on suppose seulement f continue sur [a, b] ). Posons, pour tout k élément de {0, 1, ... , n-1} :

On utilise le théorème admis suivant, au programme mais que l'on n'a pas souvent l'occasion d'utiliser : Un fonction continue sur un segment est bornée, et atteint ses bornes (en d'autres termes, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment).
f est de classe C¹ sur le segment [a, b], donc f ' est continue sur [a, b]. Il résulte alors du théorème rappelé ci-dessus : m £ f ' £ M sur [a, b].
Fixons k dans {0, 1, ... , n - 1},et appliquons la formule des accroissements finis à f, avec t appartenant à [a_k, a_k+1] :
m(t - a_k) £ f(t) - f(a_k) £ M(t - a_k).
Il en résulte :
f(t) - M(t - a_k) £ f(a_k) £ f(t) - m(t - a_k)
Puis, en intégrant cette double inégalité sur le segment [a_k, a_k+1] :

On remarque que a_k+1 - a_k = (b-a)/n, et les calculs conduisent alors à :

On additionne maintenant les n égalités obtenues, avec k variant de 0 à n - 1. La relation de Chasles fournit :


de même en remplaçant M par m, la conclusion en résulte par encadrement.
 

V. comparaison d'une série et d'une intégrale généalisée

Aucune connaissance spécifique sur ce sujet n'est au programme, il s'agit uniquement d'un thème d'exercices. Néanmoins il peut être utile d'étudier le théorème proposé ci-dessous :
Théorème Soit f une fonction continue, ³ 0, et décroissante sur [1, +¥ [. Alors :

Il en résulte que la série de terme général f(k), k appartenant à N*, est convergente ssi l'intégrale

Dem Soit k appartenant à N*. f est décroissante sur [k, k+1], donc, pour tout x appartenant à [k, k+1] :
f(k+1) £ f(x) £ f(k)
On a alors :



De la deuxième inégalité, on déduit :


De la première inégalité, on déduit :



En remettant les deux inégalités obtenues dans le bon ordre, on obtient bien :

Posons :

La double inégalité obtenue s'écrit alors :
I_n+1 £ S_n £ f(1) + I_n
Supposons que l'intégrale de f sur [1, +¥ [ soit convergente, de valeur I. (I_n) converge alors vers I, et (I_n) est croissante car
f ³ 0, donc I_n £ I. Donc :
S_n £ f(1) + I ,
et la suite (S_n) est majorée. Comme elle est croissante (S_n+1 - S_n = f(n+1) ³ 0), elle est donc convergente, ce qui signifie que la série de terme général f(n), n appartenant à N*, est convergente.
Réciproquement, supposons que la série de terme général f(n), n appartenant à N*, est convergente, de somme S. On a alors S_n £ S (série à termes ³ 0), et donc :
I_n+1 £ S_n £ S
Il en résulte que l'intégrale de f sur [1, +¥ [ est convergente.

Corollaire Convergence des séries de Riemann : la série de terme général 1/n^a , n appartenant à N*, est convergente ssi
a > 1.
Ce résultat est à connaitre. Voir exercices chapitre VI pour sa démonstration dans des cas particuliers.
 

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