Chapitre V : algèbre linéaire,
diagonalisation

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Notation : on notera diag(a, b, c) la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont a, b, c dans cet ordre.

Les matrices les simples à manipuler sont les matrices diagonales. En effet, si A = diag( l1, l2, l3), il n'est pas difficile de se convaincre que An = diag(l1n, l2 n ,l3 n), et que A est inversible ssi les li sont tous différents de 0, la matrice inverse étant alors diag (1/l1, 1/l2, 1/l3).

Le problème de la diagonalisation est le suivant : Soit f dans L(Rn), de matrice A dans la base canonique de Rn . (Dans la pratique, n est égal à 2, 3 ou 4). Trouver, quand c'est possible, une base de Rn dans laquelle la matrice de f est la plus simple possible, c'est à dire diagonale. Avant d'étudier ce problème, il convient de savoir passer d'une base à une autre, c'est l'objet de la

I. Théorie du changement de base

Définition Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3, et soit F = (u1, u2, u3) une famille de vecteurs de R3. La matrice de passage P de B à F est la matrice obtenue en écrivant en colonne les coordonnées de u1, u2, u3 dans la base B.
On note P = Mat (B , F).

Exemple : avec u1 = (0, 1, 0), u2 = (0, 0, 1), u3 = (1, 0, 0), on a :

P = .

Proposition 1: P est inversible Û F est une base de R3. La matrice P-1 est alors la matrice de passage de la base F à la base B.
Remarque : dans l'exemple précédent, (u1, u2, u3) étant de façon évidente une base de R3, il en résulte que P est inversible, ce qui peut se vérifier directement. A noter que P est une matrice inversible qui n' a que des zéros sur la diagonale...

Proposition 2 : effet d'un changement de base sur les coordonnées d'un vecteurs. Soit B et B ' deux bases de R3, P la matrice de passage de B à B ', U un vecteur de R3 .
Avec X = Mat(U, B), X ' = Mat(U, B '), on a alors X = PX '.

U = x'.e'1 + y'.e'2 + z'e'3 = x' (ae1 + be2 + ce3) + y' (a'e1 + b'e2 + c'e3) + z' (a''e1 + b''e2 + c''e3)

   = (ax' + a'y' + a''z')e1 + ...

Proposition 3 : effet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme f de R3. Soient :
* B et B ' deux bases de R3,
* A = Mat(f, B) , A' = Mat(f, B '),
* P la matrice de passage de B dans B '.
Alors A' = P-1 A P.

Dem Soient :
* X, Y les matrices colonnes de u et f(u) dans la base B,
* A la matrice de f dans B,
* X ', Y ' les matrices colonnes de u et f(u) dans la base B ',
* A' la matrice de f dans B '.
On a : Y = A X , donc PY ' = A P X ', Y ' = P-1 A P X '...

Définition Deux matrices A et B de Mn(R) sont dites semblables ssi il existe P inversible telle que :
B = P-1 A P.
Deux matrices sont semblables ssi elles représentent le même endomorphisme dans deux bases.
Il s'agit d'une relation d'équivalence :
* Une matrice A est semblable à elle-même : A = I -1 A I : la relation est reflexive ;
* Si A est semblable à B, alors B est semblable à A : Si B = P-1 A P, alors A = P A P-1 = (P-1)-1 A P-1 : la relation est symétrique;
* Si A est semblable à B et B semblable à C, alors B = P-1 A P, C = Q-1BQ, et donc :
C = Q-1 (P-1 A P) Q = (PQ)-1A(PQ), c'est-à dire que C est semblable à A : la relation est transitive.
 

II. Diagonalisation
Soit f dans  L(R3), de matrice A dans la base canonique B deR3.
Supposons qu'il existe une base C = (u1, u2, u3) telle que la matrice D de f dans C soit diagonale :
D = ;
il en résulte alors :
* D = P-1 A P avec P matrice de passage de la base B à la base C, d'aprés la théorie du changement de base .
* f(ui) = l i.ui pour i dans {1, 2, 3}.
La première chose à faire est donc de trouver l dans R et  u dans R3, u ¹ 0, tels que f(u) =l .u.

1°) Valeurs propres, vecteurs propres
Définitions Soit f dans  L(Rn), l élément de R, u élément de Rn, u ¹ 0, tels que f(u) =l .u.
l est dite valeur propre de f, u est dit vecteur propre de f associé à la valeur propre l .

Proposition et définition Soit l une valeur propre de f. L'ensemble Fl = {u dans Rn ; f(u) = l .u} est un sev de Rn, non réduit à {0}, appelé sous-espace-propre de f associé à la valeur propre l.

Dem f(u) = l .u Û (f - l .id) (u) = 0 Û u appartient à  ker(f - l .id). Flest donc un sev de Rn, et il est non réduit à {0}car l est une valeur propre de f.

Théorème Soit f un endomorphisme de Rn, et, pour i dans {1,2, ... , p}, ui un vecteur propre pour la valeur propre li. Si les li sont tous distincts, alors la famille (ui ; i appartenant à {1,2, ... , p}) est libre.

Dem Récurrence sur p.

2°) Conditions de diagonalisation
f est dite diagonalisable ssi il existe une base de Rn formée de vecteurs propres de f.
Une matrice A est dite diagonalisable ssi A est semblable à une matrice diagonale.
Diagonaliser une matrice A (quand c'est possible), c'est déterminer D diagonale et P inversible telles que A = P D P-1.

Une condition suffisante de diagonalisation : Si f élément de L(Rn) possède n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.
En effet, d'après le théorème, les vecteurs propres ui associés aux n valeurs propres distinctes li forment un famille libre de  Rn, donc une base de Rn, et f est donc diagonalisable par définition.

Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation : f élément de L(Rn) est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à n (admis).

3°) Quelques propriétés
* f appartenant à  L(Rn) possède au plus n valeurs propres distinctes. (Avec plus de n valeurs propres distinctes, on obtiendrait, d'après le théorème, une famille libre de Rn avec plus de n éléments.)
* l est valeur propre de f ssi f - l .id n'est pas bijective, ssi  f - l .id n'est pas injective, ssi Ker (f - l .id ) n'est pas réduit au vecteur nul..
* l est valeur propre de A ssi A - l .I n'est pas inversible.
* (très important) f est bijective ssi 0 n'est pas valeur propre de f ; A est inversible ssi 0 n'est pas valeur propre de A.
* Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale.
* Une matrice symétrique est diagonalisable (admis).

4°) Recherche des éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice
Soit f un endomorphisme de R3, de matrice A dans la base canonique de R3.On détermine les valeurs propres de f ( resp. de A) en déterminant, par exemple par la méthode Gauss, l'ensemble des l appartenant à R tels que l'équation (f -  l.Id)(u) = 0 admette une solution non nulle u ( resp. tels que l'équation (A - lI)X = 0 admette une solution non nulle X). L'ensemble des solutions u de l'équation (f -  l.Id)(u) = 0 est alors le sous-espace propre de f associé à la valeur propre l.

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