Chapitre V : algèbre linéaire,
diagonalisation
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Notation : on notera diag(a, b, c) la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont a, b, c dans cet ordre.
Les matrices les simples à manipuler sont les matrices diagonales. En effet, si A = diag( l1, l2, l3), il n'est pas difficile de se convaincre que An = diag(l1n, l2 n ,l3 n), et que A est inversible ssi les li sont tous différents de 0, la matrice inverse étant alors diag (1/l1, 1/l2, 1/l3).
Le problème de la diagonalisation est le suivant : Soit f dans L(Rn), de matrice A dans la base canonique de Rn . (Dans la pratique, n est égal à 2, 3 ou 4). Trouver, quand c'est possible, une base de Rn dans laquelle la matrice de f est la plus simple possible, c'est à dire diagonale. Avant d'étudier ce problème, il convient de savoir passer d'une base à une autre, c'est l'objet de la
I. Théorie du changement de base
Définition Soit B =
(e1, e2, e3) la base canonique de R3,
et soit F = (u1, u2,
u3) une famille de vecteurs de R3. La matrice
de passage P de B à F
est la matrice obtenue en écrivant en colonne les coordonnées
de u1, u2, u3 dans la base B.
On note P = Mat (B , F).
Exemple : avec u1 = (0, 1, 0), u2 = (0, 0, 1), u3 = (1, 0, 0), on a :
P = .
Proposition 1: P est inversible Û F
est une base de R3. La matrice P-1 est alors
la matrice de passage de la base F à
la base B.
Remarque : dans l'exemple précédent, (u1,
u2, u3) étant de façon évidente
une base de R3, il en résulte que P est inversible,
ce qui peut se vérifier directement. A noter que P est une matrice
inversible qui n' a que des zéros sur la diagonale...
Proposition 2 : effet d'un changement de base sur les coordonnées
d'un vecteurs. Soit B et B
' deux bases de R3,
P
la matrice de passage de B à
B
', U un vecteur de R3 .
Avec X = Mat(U, B), X ' = Mat(U,
B
'), on a alors X = PX '.
U = x'.e'1 + y'.e'2 + z'e'3 = x' (ae1 + be2 + ce3) + y' (a'e1 + b'e2 + c'e3) + z' (a''e1 + b''e2 + c''e3)
= (ax' + a'y' + a''z')e1 + ...
Proposition 3 : effet d'un changement de base sur la matrice
d'un endomorphisme f de R3.
Soient :
* B et B
' deux bases de R3,
* A = Mat(f, B) , A' = Mat(f, B
'),
* P la matrice de passage de B dans
B
'.
Alors A' = P-1 A P.
Dem Soient :
* X, Y les matrices colonnes de u et f(u) dans la base B,
* A la matrice de f dans B,
* X ', Y ' les matrices colonnes de u et f(u) dans la base B
',
* A' la matrice de f dans B '.
On a : Y = A X , donc PY ' = A P X ', Y ' = P-1 A P X '...
Définition Deux matrices A et B de Mn(R)
sont dites semblables ssi il existe P inversible telle que :
B = P-1 A P.
Deux matrices sont semblables ssi elles représentent le même
endomorphisme dans deux bases.
Il s'agit d'une relation d'équivalence
:
* Une matrice A est semblable à elle-même
: A = I -1 A I : la relation est reflexive ;
* Si A est semblable à B, alors B est semblable
à A : Si B = P-1 A P, alors A = P A P-1 =
(P-1)-1 A P-1 : la relation est symétrique;
* Si A est semblable à B et B semblable à
C, alors B = P-1 A P, C = Q-1BQ, et donc :
C = Q-1 (P-1 A P) Q = (PQ)-1A(PQ),
c'est-à dire que C est semblable à A : la relation est transitive.
II. Diagonalisation
Soit f dans L(R3),
de matrice A dans la base canonique B deR3.
Supposons qu'il existe une base C
= (u1, u2, u3) telle que la matrice D
de f dans C soit diagonale :
D = ;
il en résulte alors :
* D = P-1 A P avec P matrice de passage de la base B
à la base C, d'aprés la
théorie du changement de base .
* f(ui) = l i.ui
pour i dans {1, 2, 3}.
La première chose à faire est donc de trouver l
dans R et u dans R3, u ¹
0, tels que f(u) =l .u.
1°) Valeurs propres, vecteurs propres
Définitions Soit f dans L(Rn),
l
élément de R, u élément de Rn,
u ¹ 0, tels que f(u) =l
.u.
l est dite valeur propre de f, u
est dit vecteur propre de f associé à la valeur propre
l
.
Proposition et définition Soit l une valeur propre de f. L'ensemble Fl = {u dans Rn ; f(u) = l .u} est un sev de Rn, non réduit à {0}, appelé sous-espace-propre de f associé à la valeur propre l.
Dem f(u) = l .u Û (f - l .id) (u) = 0 Û u appartient à ker(f - l .id). Flest donc un sev de Rn, et il est non réduit à {0}car l est une valeur propre de f.
Théorème Soit f un endomorphisme de Rn, et, pour i dans {1,2, ... , p}, ui un vecteur propre pour la valeur propre li. Si les li sont tous distincts, alors la famille (ui ; i appartenant à {1,2, ... , p}) est libre.
Dem Récurrence sur p.
2°) Conditions de diagonalisation
f est dite diagonalisable ssi il existe une base de Rn
formée de vecteurs propres de f.
Une matrice A est dite diagonalisable ssi A est semblable à
une matrice diagonale.
Diagonaliser une matrice A (quand c'est possible), c'est déterminer
D diagonale et P inversible telles que A = P D P-1.
Une condition suffisante de diagonalisation : Si f élément
de L(Rn) possède
n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.
En effet, d'après le théorème, les vecteurs propres
ui associés aux n valeurs propres distinctes li
forment
un famille libre de Rn, donc une base de
Rn,
et f est donc diagonalisable par définition.
Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation : f élément de L(Rn) est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à n (admis).
3°) Quelques propriétés
* f appartenant à L(Rn)
possède au plus n valeurs propres distinctes. (Avec plus
de n valeurs propres distinctes, on obtiendrait, d'après le théorème,
une famille libre de Rn avec plus de n éléments.)
* l est valeur propre de f ssi f - l
.id n'est pas bijective, ssi f - l .id
n'est pas injective, ssi Ker (f - l .id ) n'est
pas réduit au vecteur nul..
* l est valeur propre de A ssi A - l
.I n'est pas inversible.
* (très important) f est bijective ssi 0 n'est pas valeur
propre de f ; A est inversible ssi 0 n'est pas valeur propre de A.
* Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont les éléments
de sa diagonale.
* Une matrice symétrique est diagonalisable (admis).
4°) Recherche des éléments propres d'un endomorphisme,
d'une matrice
Soit f un endomorphisme de R3, de matrice A dans
la base canonique de R3.On détermine les valeurs
propres de f ( resp. de A) en déterminant, par exemple par la méthode
Gauss, l'ensemble des l appartenant à
R
tels que l'équation (f - l.Id)(u)
= 0 admette une solution non nulle u ( resp. tels que l'équation
(A - lI)X = 0 admette une solution non nulle
X). L'ensemble des solutions u de l'équation (f - l.Id)(u)
= 0 est alors le sous-espace propre de f associé à la valeur
propre l.