exercice 1

1.1.1 l est valeur propre de f ssi A - l I n'est pas inversible. En effectuant les opérations L₁ « L₂, puis L₂ ¬ L₂- (3 - l )L₁, on obtient la matrice

-l² +3l- 2 = 0 Û l = 1 ou l = 2 ; 2 -l = 0 Û l = 2.
Les deux valeurs propres de f sont donc l₁ = 1, l₂ = 2.
2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A.
3. Pour l₁ = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1.
Pour l₁ = 2, le sous espace propre associé à pour base (2, 1, 0), pour dimension 1.
4. La somme des dimensions des sous-espaces propres de f n'est pas égale à 3, donc f n'est pas diagonalisable.
5. u₁ = (1, 1, 0).
6. u₂ = (2, 1, 0).
7. x u₁ + yu₂ + z u₃ = 0 est équivalent assez rapidement à x = y = z = 0 ; C est donc une famille libre de E, qui est de dimension 3. C est donc une base de E.
8. Par définition de P,

La matrice de passage de C à B est la matrice P^-1 et la méthode du pivot aboutit à

9. f(u₃) = (4, 3, 2), et u₂ + 2u₃ = (4, 3, 2) : OK.
10. f(u₁) = u₁, f(u₂) = 2u₂, f(u₃) = u₂ + 2u₃, donc...
11. Théorie du changement de base : A = P T P^-1.
12. Récurrence : la propriété à établir est vraie pour n = 1 avec a = 1, et si elle est vraie pour n fixé dans N, alors

elle est vraie pour n +1, avec a_n+1 = 2ⁿ + 2a_n. D'où la conclusion.
13. Le premier résultat s'établit par récurrence : 1× 2^{1- 1} = 1 = a₁, et si a_n = n× 2^{n- 1} pour n fixé dans N*, alors a_n+1 = 2ⁿ + 2 n 2^{n- 1} = 2ⁿ + n 2ⁿ = 2ⁿ(n + 1).
Pour le deuxième, contentons-nous d'écrire : Aⁿ = (PTP^-1) (PTP^-1) ... (PTP^-1) = P Tⁿ P^-1.
1.2.1. La matrice nulle O appartient à C(A) car AO = OA.
Soit M, M ' deux matrices de C(A) ; alors A(M + M ') = AM + AM' = MA + M'A = (M + M ')A, donc M + M ' appartient à C(A).
Soit M appartenant à C(A) et x appartenant à R ; alors A(xM) = x(AM) = x(MA) = (xM)A, donc xM appartient à C(A).
On en conclut que C(A) est un sous-espace vectoriel de M³(R).
2. M ' = P^-1 M P, donc M = P M ' P^-1 et AM = MA est équivalent successivement à :
(P T P^-1)(P M ' P^-1) = (P M ' P^-1)(P T P^-1)
P T M ' P^-1 = P M ' T P^-1
T M ' = M ' T
3. T M ' = M ' T est équivalent à :

Ce qui donne exactement les matrices de la forme annoncée.
4. M appartient à C(A) ssi M = P M ' P^-1 avec M ' comme trouvée dans la question précédente. Le calcul patient de ce produit de trois matrices devrait donner le résultat escompté...
5. M appartient donc à C(A) ssi

(M₁, M₂, M₃) est donc une famille génératrice de C(A). Cette famille est libre :
si aM₁ + bM₂ + cM₃ = 0, alors - a + 2b = 0, - a + b = 0, - a + b + c = 0, et donc a = b = c = 0.
Elle est donc une base de C(A), qui est donc de dimension 2.

exercice 2

2.1.1 ch est paire, sh est impaire.
2. sh'(x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante sur R. Les limites (+¥ en +¥ , -¥ en -¥ ) sont sans problème.
sh est strictement croissante sur R et sh(0) = 0, donc sh(x) est du signe de x.
3. En +¥ , sh(x) est équivalent à (1/2)e^x, donc sh(x)/x est équivalent à (1/2)(e^x/x), donc tend vers +¥, donc il y a une branche parabolique de direction (Oy)
4. sh est continue strictement croissante sur R, lim_+¥sh = +¥ , lim_-¥ sh = -¥ , donc h réalise une bijection de R sur R.
5. ch' = sh, dont le signe est connu. Les limites sont sans problèmes.
ch est strictement décroissante sur ]-¥ , 0], strictement croissante sur [0, +¥ [ ;
h(0) = 1, lim_-¥ ch = +¥ , lim_+¥ch = +¥ .
6. Pour tout x appartenant à R, ch(x) - sh(x) = e^-x > 0, donc ch(x) > sh(x).
7. Les fonctions ch et sh que nous venons d'étudier sont les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Leurs représentations graphiques traînent un petit peu partout. Par exemple, on appelle chaînette la représentation graphique de la fonction ch, pour une raison que je vous laisse deviner (pas parce ch comme chaînette...).
Et pourquoi cette appellation baroque ? Calculez ch²(x) - sh²(x), et vous verrez que ch et sh jouent le même rôle pour l'hyperbole équilatère (x² - y² = 1) que cos et sin pour le cercle trigonométrique (x² + y² = 1).
8. Pour tout dans R* :

f(- 0) = f(0), et la fonction f est paire.
9. On commence par écrire le DL de e^x en 0 à l'ordre 3 : (e est une fonction quelconque de limite nulle en 0)

puis celui de e^-x :

et enfin celui de sh(x) :

10. On obtient alors pour f :

donc f est continue en 0.
Pour la dérivabilité de f en 0 :

Donc f est dérivable en 0, et f '(0) = 0.
11. f est dérivable sur R⁺* et sur R^- * car c'est le quotient de deux fonctions dérivables avec le dénominateur qui ne s'annule pas. Pour tout x différent de 0 :

12. h(x) = sh(x) - x ch(x), h'(x) = ch(x) - ch(x) - x sh(x) = - x sh(x) < 0 pour x > 0. h est donc strictement décroissante sur [0, +¥ [, et comme h(0) = 0, h est donc négative sur ]0, +¥ [.
13. f '(x) = h(x)/sh²(x) pour x différent de 0. f '(0) = 0.
f est paire, strictement décroissante sur [0, +¥ [, strictement croissante sur ]-¥ , 0].
f(0) = 1, lim_+¥f = 0 car f(x) équivalent à 2x e^-x, lim_-¥ f = 0 par parité.
On a comme souvent une bonne allure de cloche (pour la courbe représentative de f !)
2.2.1. f(0,8) »0,9, donc f(0,8) ³ 0,8 ; f(0) =1 ; f est décroissante sur [0, +¥ [ ; donc
f([0,8 ; 1]) Ì [0,8 ; 1] .
Et laissons tomber cette notation anglo-saxonne envahissante (un point en lieu et place de notre chère virgule), qui se révèle de plus dans le contexte comme particulièrement inesthétique...
Il en résulte, par une récurrence enfantine : Pour tout n appartenant à N, u_n Î [0,8 ; 1].
2. Pour x différent de 0 : f(x) = x Û x/sh(x) - x = 0 Û x(sh(x) - 1) Û sh(x) = 1.
sh est une bijection de R sur R, il existe donc a unique tel que sh(a ) = 1 ; a est différent de 0 car sh(0) = 0. L'équation f(x) = x admet donc une unique solution a.
3. sh(0) = 0 donc a > 0 ; sh(1) = (e + e^-1)/2 > 1 donc a < 1. Donc 0 < a < 1, mais cela ne suffit pas, l'encadrement utilisable pour les questions qui vont suivre est 0,8 £ a £ 1.
La fonction définie par g(x) = f(x) - x est strictement décroissante sur [0, +¥ [, car sa dérivée g' = f ' -  1 est négative sur [0, +¥ [ ; g(0,8) ³ 0 et g(1) £ 0 ; donc 0,8 £ a £ 1.
Maintenant, f '(x) = h(x) / sh²(x), et, pour tout x dans [0,8 ; 1] :
h(1) £ h(x) £ h(0,8) car h est décroissante sur [0,8 ; 1] ; mais attention les nombres sont négatifs, et toutes nos connaissances techniques sont remises en cause. Le plus simple est de se ramener à des nombres positifs :
(1) - h(1) ³- h(x) ³ - h(0,8) > 0
sh²(0,8) £ sh²(x) £ sh²(1), car sh² est croissante sur [0,8 ; 1] (composée de deux fonctions croissantes, ou de dérivée 2sh(x)ch(x) > 0 pour x > 0) ;
les nombres sont positifs, donc

En "multipliant entre elles" les inégalités (1) et (2), de même sens et portant sur des nombres positifs, on obtient le résultat à "justifier", après avoir remultiplié par - 1...
4. Il résulte alors des données que pour tout x dans [0,8 ; 1], on a - 0,5 £ h'(x) £ 0, et donc ½ h'½ £ 0,5 sur [0,8 ; 1] .
a appartient à [0,8 ; 1] et, pour tout n, u_n appartient à [0,8 ; 1] : tout est en place pour utiliser la formule des accroissements finis, et obtenir ½ u_n+1 - a½£ 0,5 ½ u_n -a½ . La récurrence habituelle donne ½ u_n -a½£ 0,2 (0,5)ⁿ
(½ u₀ -a½ = ½ 1 - a½£ 0,2 est clair vu la taille de l'intervalle [0,8 ; 1] ).
5. La limite de (0,5)ⁿ est 0 car 0 < 0,5 < 1, la limite de u_n est donc a .
6. On sort la machine à écrire :
program ecricome ;
var u : real ; k : integer ;
BEGIN u : = 1 ; for k : = 1 to 10 do u : = 2*x / (exp(x) - (exp(- x)) ; write(u) ; END.

exercice 3
3.1.1. Formule de Bayes :

2.a. Une question de cours et qui ne s'en cache pas : Y prend ses valeurs dans N et pour tout k dans N, P(Y = k) = e^-20 20^k / k! ; E(Y) = 20 ; V(Y) = 20.
b. Si k £ n, P(X = k / Y = n) = C_n^k (0,1)^k (0,9)^{n- k} car les fabrications des pièces sont indépendantes.
Si k > n, P(X = k / Y = n) = 0.
c. Encore une occasion de faire ce calcul archi-classique, mais non élémentaire, et que tout le monde se doit de parfaitement maîtriser. On utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements indiqué :

Et on obtient la conclusion.
3.2.1. f est positive, continue sur R privé de 0, et

f est donc une densité de probabilité.
2. Pour x £ 0, F_Z(x) = 0 ;

3. Existence : la fonction qui à t associe 2t/(1 +t)³ est continue et positive sur [0, +¥ [, et équivalente en +¥ à 2/t². Par comparaison avec l'intégrale de Riemann convergente somme de 1 à +¥ de 2/t²dt, on en conclut que l'intégrale est convergente.
Calcul : avec x > 0,

L'intégrale est donc convergente... et vaut 1.
4. Sous réserve de convergence :

Or :

Donc Z admet une variance et E(Z) = 1.
5. Z n'admet pas de moment d'ordre 2, car l'intégrale de -¥ à +¥ de t²f(t) est égale à l'intégrale de 0 à +¥ de 2t²/(1+t)³, qui est une fonction continue, positive sur [0, +¥ [, et équivalente en +¥ à 2/t. Or l'intégrale de 1 à +¥ de 2/t est divergente, d'où le résultat.
Z n'admet pas de moment d'ordre 2, donc pas de variance.
6.a) P(C) = P(Z > 2) = 1 - P(Z £ 2) = 1 - F_Z(2) = 1/9
P(D) = P(Z £ 3) = F_Z(3) = 1 - 1/16 = 15/16

b) i) (T £ x) = (Z₁£ x) Ç (Z₂ £ x)
ii) Z₁ et Z₂ sont indépendantes et suivent la même loi que Z, on en déduit que pour tout x réel :
P(T £ x) = [P(Z £ x)]²
C'est à dire G_T(x) = [F_Z(x)]²
c) G_T est continue sur R car c'est la composée de deux fonctions continues sur R. T est donc une variable aléatoire à densité.
G_T'(x) = 0 si x < 0, et si x > 0 :

Une densité de T est donc la fonction g définie par

3.3.1. C'est une question de cours :
v(t) = 0 si t < 0 ; v(t) = 2e-^2t si t ³ 0 ;
w(t) = 1 si 0 £ t £ 1 ; w(t) = 0 sinon.
2. S = M + N, et, par linéarité de l'espérance E(S) = E(M) + E(N) = 1/2 + 1/2 = 1 minute.
A bas les cadences infernales !