Exercice 1

1) a. Pour tout t > 0 :

Donc l'intégrale I_n est convergente et vaut e^1/n - 1.
b. lim_{n® +¥}1/n = 0 et e^x - 1 ~ ₀ x, donc I_n = e^1/n - 1 ~ _+¥1/n.
2) Pour n ³1, u_n = f(n) est positif, et

La série de terme général 1/n² est convergente (Riemann), donc la série de terme général u_n est convergente.
3) a. Pour tout x > 0,

donc f est décroissante sur [k, k + 1], donc pour tout x Î [k, k + 1], f(k + 1) £ f(x) £ f(k), donc


b. Pour tout k Î N*,

et la série de terme général f(k) est convergente, il en est donc de même de la série de terme général défini par l'intégrale de f sur l'intervalle [k, k + 1].
On sait (passage à la limite dans les inégalités) que si u_n £ v_n, lim(u_n) = L, lim(v_n) = L', alors L £ L'. Nous pouvons donc écrire :

4) On déduit de l'inégalité précédente :

Puis, en divisant par I_n qui est positif :

I_n est équivalent en +¥ à 1/n, donc n²I_n est équivalent à n, e^1/n / n²I_n est équivalent à e^1/n / n, donc tend vers 0 quand n tend vers +¥ .
Par encadrement, il en résulte que le quotient R_n/I_n tend vers 1 quand n tend vers +¥ , avec :

C'est dire que R_n est équivalent à I_n. Or I_n est équivalent à 1/n, donc R_n est équivalent à 1/n.

Exercice 2

1) f_n est continue sur R sauf en 1 (et en 0 pour n = 1), positive ou nulle, et

Donc f _n est une densité de probabilité.
2) a. Avec n = 1, f₁(x) = 1 si x Î [0, 1], 0 sinon. On reconnaît la loi uniforme sur [0, 1].
b. Cas n ³ 2.
Fonction de répartition : X_n est à valeurs dans [0, 1], donc F_n(x) = 0 si x £ 0, F_n(x) = 1 si x ³ 1. Pour 0 £  x £  1 :

En résumé :

Espérance :

Variance :

3) a. Pour tout réel x, (M_n £ x) = (U_n £ x) Ç (V_n £ x).
b. Pour tout réel x, P(M_n £ x) = P(U_n £ x) P(V_n £ x) par indépendance de U_n et V_n. Donc, pour tout réel x, G_n(x) = [F_n(x)]², soit

M_n suit donc la loi monôme d'ordre 2n, elle a pour densité f_2n, pour espérance E(M_n) = 2n / (2n + 1)
c. On prend deux nombres au hasard, la somme du plus grand et du plus petit de ces deux nombres est clairement égale à la somme des deux nombres. En d'autres termes :
M_n + T_n = U_n + V_n
Donc T_n = U_n + V_n - M_n, donc (linéarité de l'espérance) E(T_n) = 2n / (n + 1) - 2n / (2n + 1).

Exercice 3
Un sujet largement inspiré (c'est le moins qu'on puisse dire) d'un exercice donné à l'isc-eslsca 93 option éco...

1) Si x > 0, alors e^x - 1 > 0. Si x < 0, alors e^x - 1 < 0. Dans les deux cas, le quotient est positif, et donc

2) Sur R* : (e^x - 1) / x est continue et positive sur R*, ln est continue sur ]0, +¥ [, donc la composée f est continue sur R*.
En 0 : lim_{x® 0} (e^x - 1) / x = 1, lim_{x® 1} ln(x) = 0, donc lim_{x® 0} f(x) = 0 = f(0), donc f est continue en 0.
Donc f est continue sur R.
3) Assez curieusement, on parle de continuité sur un ensemble qui n'est pas nécessairement un intervalle, alors que l'on s'astreint à parler de C¹-continuité uniquement sur un intervalle (d'où l'expression " montrer que f est de classe C ¹ sur ] – ¥, 0 [ et sur ] 0, + ¥[" ). Cela n'a pas lieu d'être, la C¹-continuité comme la continuité étant des notions locales (vérifiées ou non en un point). Nous parlerons donc de C¹-continuité sur R*.
(e^x - 1) / x est de classe C¹ et positive sur R*, ln est de classe C¹ sur ]0, +¥ [, donc la composée f est de classe C¹ sur R*. Pour x appartenant à R*, on a :

4) a. Le recours aux développements limité est obligatoire. e désigne une fonction quelconque de limite nulle en 0.
Le DL de e^x en 0 à l'ordre 2 est : e^x = 1 + x + x²/2 + x²e(x). En remplaçant e^x par son DL dans l'expression de f '(x), on trouve :

b. Théorème de prolongement des fonctions de classe C¹ : f est continue sur R, de classe C¹ sur R*, f ' admet une limite finie en 0, égale à 1/2 ; donc f est de classe C¹ sur R, et f '(0) = 1/2.
5) a. g(x) = x e^x – e^x + 1 ; g'(x) = e^x + xe^x - e^x = xe^x est du signe de e^x. Donc g est strictement décroissante sur ]-¥ , 0], strictement croissante sur [0, +¥ [.
b. g(0) = 0, il résulte alors du a) que g est positive sur R*. Or, pour x différent de 0 :

Le dénominateur et le numérateur sont positifs, f ' est donc positive sur R*, et aussi en 0. f est donc strictement croissante sur R.
Pour les limites :


u₀ > 0, u_{n +1} = f (u_n).
6) On montre : " nÎ N , u_n > 0 par récurrence : u₀ > 0 par hypothèse, et si u_n > 0 pour n fixé dans N, alors u_n+1 = f(u_n) > f(0) = 0 (car f est strictement croissante). La conclusion en résulte.
7) a.

Donc f (x) – x = f (– x).
b. Pour tout x de R*₊, f (x) – x est du signe de f(- x). Or si x > 0, alors - x est négatif, et donc f(- x) aussi ( si - x < 0, alors f(- x) < f(0) = 0 ; bref, pour tout x réel, f(x) est du signe de x.)
Par conséquent, si x > 0, alors f(x) - x < 0.
c. Pour tout x > 0, f(x) - x < 0 ; Pour tout n, u_n > 0 ; donc pour tout n, f(u_n) - u_n < 0, u_n+1 - u_n < 0 : la suite (u_n) est (strictement) décroissante.
8) (u_n) est décroissante et minorée par 0, elle est donc décroissante. Sa limite L vérifie L = f(L) car f est continue sur R. Or L = f(L) ssi f(L) - L = 0 ssi f(- L) = 0 ssi - L = 0 (d'après le signe de f) ssi L = 0. La suite (u_n) converge donc vers 0.
9)
program edhec03 ;
var u : real ; n : integer ;
BEGIN
u : = 1 ; n : = 0 ;
repeat n : = n + 1 ; u : = ln(exp(u) - 1)/u) ; until u < 1.e- 3 ;
write(n) ;
END.

Problème
Les concepteurs de l'edhec semblent tenir fortement aux chaînes de Markov. Cela fournit des problèmes sans difficultés majeures, mais bien fastidieux et répétitifs...
1) a. Avec le s.c.e fortement suggéré par l'énoncé :
P(E_n+1) = P(E_n+1/E_n)P(E_n) + P(E_n+1/F_n)P(F_n) + P(E_n+1/G_n)P(G_n) + P(E_n+1/H_n)P(H_n)
P(E_n+1/E_n) = 2/3 car, si E_n est réalisé, alors on a gagné les parties n - 1 et n, et E_n+1 est réalisé ssi on gagne la partie n + 1. De même P(E_n+1/F_n) = 1/2. Les autres probabilités conditionnelles sont nulles. On a donc, pour tout n appartenant à N* :

b. Aucune explication n'est exigée, on louche sur la matrice de transition qui suit pour écrire :

c. OK ! (Pour justifier, partez de MU_n pour arriver à U_n+1.)
2) a. P´ Q = 10 I , donc P´ (1/10)Q = I, donc P est inversible et P^-1 = (1/10) Q.
b. On esquisse les calculs afin de vérifier qu'il n'y a pas de piège :

On en déduit que - 1/3, 1/6, 1/2, 1 sont les valeurs propres de M, avec pour vecteurs propres respectivement C₁, C₂, C₃, C₄ (les valeurs propres de M car chacun sait qu'une matrice carrée d'ordre 4 admet au plus 4 valeurs propres).
c. P est inversible, donc (C₁, C₂, C₃, C₄) est une base de M_3,1(R). Cette base est constituée de vecteurs propres de M, donc M est diagonalisable, et la théorie du changement de base fournit M = PDP^-1, avec D = diag(- 1/3, 1/6, 1/2, 1)
3) a. Pour n = 0, PD⁰P^-1 = I = M⁰, et si pour n fixé dans N on a Mⁿ = PDⁿP^-1, alors :
Mⁿ⁺¹ = MⁿM = PDⁿP^-1PDP-¹ = PDⁿ⁺¹P^-1, d'où la conclusion.
b. Pour n = 2, M^{2- 2}U₂ = U₂, et si pour n fixé supérieur ou égal à 2, on a U_n = M^{n -2}U₂, alors :
U_n+1 = MU_n = MM^{n- 2}U₂ = M^{n+1- 2}U₂, d'où la conclusion.
c. Mⁿ = PDⁿP^-1 fournit, en mettant des x à la place des calculs inutiles :

Le joueur a gagné les deux premières parties, donc U₂ est la matrice-colonne dont tous les éléments sont nuls, sauf le premier qui est égal à 1.
U_n = M^{n- 2}U₂ est donc la première colonne de M^{n- 2}, dont les éléments sont, dans l'ordre, P(E_n) etc.
d. -1/3, 1/6, 1/2 appartiennent à l'intervalle ouvert ]- 1, 1[, leurs puissances (n-2)-ème tendent vers 0 quand n tend vers +¥ , ne subsistent donc que 3/10 etc.
4) a. " k ³ 2, A_k = E_k È F_k.
b. Pour tout k ³ 2, X_k est une variable de Bernoulli, de paramètre
P(X_k = 1) = P(E_k) + P(F_k) = (1/10) [(- 1/3)^{n- 2} - 2(1/2)^{n- 2} + 6]
car E_k et F_k sont incompatibles.
5) a. P(S₂ = 2) = 1 car le joueur a gagné les deux premières parties.
P(S₃ = 2) = 1/3 car S₃ = 2 ssi le joueur perd la troisième partie.
Pour n ³ 4, on utilise la généralisation de la formule des probabilités composées :

(On a gagné les deux premières parties, la probabilité de perdre la troisième est donc 1/3 ;
on a gagné la deuxième et perdu la troisième, la probabilité de perdre la quatrième partie est donc 1/2 ;
ensuite on perd deux parties consécutives, la probabilité de perdre la suivante est donc 2/3 ;
Le produit comporte n - 3 + 1 = n - 2 facteurs, dont deux sont différents de 2/3, il y a donc n - 4 facteurs égaux à 2/3.)
b. P(S_n = n) = P(A₃ Ç A₄ Ç ... Ç A_n) = P(A₃) P(A₄/A₃) ... P(A_n / A₃ Ç ... Ç A_{n- 1}) = (2/3)^{n- 2}
c. S_n = X₁ + ... + X_n. Par linéarité de l'espérance, E(S_n) = E(X₁) + ... + E(X_n). Les X_k sont des variables de Bernoulli, de paramètre P(X_k = 1) = (1/10) [(- 1/3)^{n- 2} - 2(1/2)^{n- 2} + 6]. On a donc
E(S_n) = n(1/10) [(- 1/3)^{n- 2} - 2(1/2)^{n- 2} + 6].