Inégalités et opérations

somme :
a £ b Þ a + c £ b + c

en particulier : a £ b et c ³ 0 Þ a £ b + c et a - c £ b
Ceci se généralise :

On peut retenir : pour majorer une somme, on majore chaque terme de la somme.

produit :


On résume les propriétés précédentes en disant que la relation d'ordre usuelle dans R est compatible avec l'addition et la multiplication des réels. Attention, la multiplication par un nombre négatif renverse le sens des inégalités.

opposé :
 a £ b Þ -a ³ -b

inverse :

L'inverse d'un nombre positif est un nombre positif, mais les inverses des nombres positifs se rangent dans l'ordre inverse...

différence, quotient :
On ne peut rien dire, par exemple :
13 £ 19 , -15 £ 10, mais 13 - (-15) > 19 -10
1 £ 1 , 1 £ 2, mais 1/1 > 1/2
Pour encadrer une différence x - y, le mieux est d'encadrer -y, puis x + (-y) :

De même pour un quotient de nombres positifs :

On peut retenir : Pour majorer un quotient de termes positifs, on majore le numérateur et on minore le dénominateur.

Illustrons quelques-uns de ces points en traitant l'exercice archi-classique suivant :
a) Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 :

b) En déduire que la série de terme général 1/n², n appartenant à N*, est convergente.

Réponse :
a) Pour n supérieur ou égal à 2, n²³ n(n - 1) > 0, donc

(Pour majorer un quotient de nombres positifs, on a minoré le dénominateur.
Et pourquoi n² est-il supérieur ou égal à n(n - 1) ?
Parce que n - 1 £ n et n ³ 0, donc (n - 1).n £ n.n = n² (inégalités et produit).
Ou bien parce que (n - 1).n, qui est égal à n² - n, est inférieur ou égal à n²...)
L'égalité demandée ne pose pas de problèmes, il suffit de réduire au même dénominateur le membre de doite.

b) Il s'agit de montrer que la suite (S_n) définie par :

est convergente. Or elle est croissante (car S_n+1 - S_n = 1/(n+1)² > 0), et il reste à démontrer qu'elle est majorée.
Mais pour majorer une somme, on majore chaque terme de la somme. Le a) fournit :

Et par conséquent


La suite (S_n) est donc croissante et majorée, donc convergente,ce qu'il fallait démontrer...

Inégalités et fonctions

Le principe général est le suivant :

Soit f une fonction croissante sur l'intervalle I, a et b deux éléments de I. Alors :       a £ b Þ f(a) £ f(b) Soit f une fonction décroissante sur l'intervalle I, a et b deux éléments de I. Alors :       a £ b Þ f(a) ³ f(b)

On a de plus :

Soit f une fonction continue et strictement croissante sur l'intervalle I, a et b deux éléments de I. Alors :       a £ b Û f(a) £ f(b) Soit f une fonction continue et strictement décroissante sur l'intervalle I, a et b deux éléments de I. Alors :       a £ b Û f(a) ³ f(b)

En effet, avec les hypothèses supplémentaires, f est une bijection, et la bijection réciproque a le même sens de variations.
Une fonction croissante conserve le sens des inégalités, une fonction décroissante renverse le sens des inégalités.
Voici quelques cas particuliers, d'usage constant :
0 £ a £ b Þ a² £ b²

Mais a² £ b² implique seulement Ö (a²) £Ö (b²), c'est-à dire ½ a½£½ b½ , soit a £ b SI de plus si a et b sont tous deux ³ 0.
a £ b Û a³ £ b³
0 £ a £ b Þ a ^r £ b ^r pour tout réel r positif

0 < a £ b Û ln(a) £ ln(b)
a £ b Û e^a £ e^b
 

Inégalités et valeur absolue
Rappel :
½x½ = max {x, -x} (le plus grand des deux nombres x, -x)

½x½ est la distance du point x au point 0 de la droite réelle :

½a - b½ est la distance du point a au point b :

Pour tout x : ½ x½³ 0 , et½ x½ = 0 Û x = 0
½ x.y½ = ½ x½ .½ y½
½ x + y½£½ x½ + ½ y½ ( inégalité triangulaire)
Attention, on a seulement ½ x - y½£ ½ x½ + ½ y½ .En général, ½ x - y½ n'est pas inférieur ou égal à ½ x½ - ½ y½

½A½£ B Û -B £ A £ B
½A½³ B Û A ³ B ou A £ -B

Ainsi, avec e > 0 : ½ x - x₀ ½ < e Û  -e < x - x₀ < e Û  x₀ - e < x < x₀ + e :

L'ensemble des points x qui conviennent est l'ensemble des points x dont la distance à x₀ est inférieure à e . Cet ensemble est l'intervalle ouvert centré sur x₀ et de rayon e . On peut aussi dire que x₀ est une valeur approchée de x à moins de e près.
 

Passage à la limite dans les inégalités

Si f £ g, lim_b f = L, lim_b' g = L' , alors L £ L'
Si f £ g £ h, lim_b f = lim_b' h = L, alors lim_b g = L
Si |f(x) - L½ £ g(x) et lim_b g = 0, alors lim_b f = L

Intégrales et inégalités

Si a £ b et f ³ 0 sur [a, b], alors :

Si a £ b et f £ g sur [a, b], alors :

 

Et en probabilités ?

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Remarquons que pour tout n dans N :
(X £ n) = (X = n) È (X £ n - 1)
(même pour n = 0, car X est à valeurs dans N !). Par additivité , on obtient :
P(X £ n ) = P(X = n) + P(X £ n -1) ; par conséquent :
P(X = n) = P(X £ n ) - P( X £ n - 1)
La connaissance de la fonction de répartition de X suffit à déterminer la loi de X.

De la même manière , avec toujours X v.a à valeurs dans N :
(X ³ n) = ( X = n) È (X ³ n + 1)
P(X ³ n ) = P(X = n) + P(X ³ n +1) ;
P(X = n) = P(X ³ n ) - P( X ³ n + 1)