I. fonction ln et fonction exp
II. autres fonctions exponentielles
définitions
* ln est la primitive de la fonction x ®
1/x sur ]0, +¥ [, qui s'annule en 1 :
* exp est la bijection réciproque de la fonction logarithme
néperien :
"y
> 0, "x
réel : y = exp(x) Û
x
= ln(y)
propriétés
visibles sur le graphique :
* ln est une bijection continue strictement croissante de ]0,
+¥ [ sur R.
ln(1) = 0 ; ln(x)
< 0 Û 0 < x < 1
; ln(x) > 0 Û x > 1
* exp est une bijection continue strictement croissante de
R
sur ]0, +¥ [.
exp(0) = 1 ;
exp(x) <1 Û x < 0
; exp(x) > 1 Û
x > 0
autres propriétés analytiques :
ln est dérivable sur ]0, +¥
[, et " x > 0 : ln'(x) = 1/x
ln est de classe C¥
sur ]0, +¥ [
Sur ]0, +¥ [, ln
admet pour primitive : x ® x ln(x) - x
exp est dérivable sur R, et "
x : exp'(x) = exp(x)
exp est de classe C¥
sur R
une primitive de exp sur R est exp.
propriétés algèbriques :
on note : exp(x) = ex | |
ln(1) = 0 | e0 = 1 |
ln(e) = 1 | e1 = e |
" a,b > 0 : ln(ab) = ln(a) + ln(b) | " a,b ÎR : ea+b = ea eb |
" a > 0 : ln(1/a) = -ln(a) | " a ÎR : e-a = 1/ea |
" a,b > 0 : ln(a/b) = ln(a) - ln(b) | " a,b ÎR : ea-b = ea/eb |
" a > 0, " x Î R : ln(ax) = x ln(a) | " a,x ÎR : (ea)x = eax |
propriétés avancées :
* développement limité d'ordre n de ln en 0 :
* développement limité d'ordre n de exp en 0 :
* développement en série de exp(x) :
I.fonction ln et fonction exp
II. autres fonctions exponentielles
Définition : pour a > 0 et x ÎR
: ax = exln(a)
Propriétés : pour a,b > 0, et x,y ÎR
: ax+y = ax ay ; ax bx
= (ab)x, e.t.c
Etude : se déduit de l'étude des fonctions exp et ln.
Représentation graphique de x ® ax
: