fonctions exponentielles et logarithme néperien
 
 

I. fonction ln et fonction exp
II. autres fonctions exponentielles

définitions

* ln est la primitive de la fonction x ® 1/x sur ]0, +¥ [, qui s'annule en 1 :

* exp est la bijection réciproque de la fonction logarithme néperien :
    "y > 0, "x réel :   y = exp(x)  Û x = ln(y)
 

propriétés

visibles sur le graphique :
* ln est une bijection continue strictement croissante de ]0, +¥ [ sur R.
    ln(1) = 0   ;    ln(x) < 0 Û 0 < x < 1    ;    ln(x) > 0 Û x > 1

* exp est une bijection continue strictement croissante de R sur ]0, +¥ [.
    exp(0) = 1    ;    exp(x) <1 Û x < 0     ;      exp(x) > 1 Û x > 0

autres propriétés analytiques :

    ln est dérivable sur ]0, +¥ [, et " x > 0 : ln'(x) = 1/x
    ln est de classe C¥ sur ]0, +¥ [
    Sur ]0, +¥ [, ln admet pour primitive : x ® x ln(x) - x

    exp est dérivable sur R, et " x : exp'(x) = exp(x)
    exp est de classe C¥ sur R
    une primitive de exp sur R est exp.

propriétés algèbriques :
 
  on note : exp(x) = ex
ln(1) = 0 e0 = 1
ln(e) = 1 e1 = e
" a,b > 0 : ln(ab) = ln(a) + ln(b) " a,b ÎR : ea+b = ea eb
" a > 0 : ln(1/a) = -ln(a) " a ÎR : e-a = 1/ea
" a,b > 0 : ln(a/b) = ln(a) - ln(b) " a,b ÎR : ea-b = ea/eb
" a > 0, " x Î R : ln(ax) = x ln(a) " a,x ÎR : (ea)x = eax

propriétés avancées :
* développement limité d'ordre n de ln en 0 :

* développement limité d'ordre n de exp en 0 :

* développement en série de exp(x) :

I.fonction ln et fonction exp
II. autres fonctions exponentielles

Définition : pour a > 0 et x ÎR : ax = exln(a)
Propriétés : pour a,b > 0, et x,y ÎR : ax+y = ax ay ; ax bx = (ab)x, e.t.c
Etude : se déduit de l'étude des fonctions exp et ln. Représentation graphique de x ® ax :