fonctions polynômes
 

I. définitions

Une fonction polynôme (ou : polynôme) est une fonction P de R dans R définie par :

où a0, a1, ... , an sont des réels.
Le plus grand entier n tel que an est différent de 0 est le degré du polynôme. On note d°(P) = n. Si tous les ai sont nuls, P est la fonction nulle, et on convient que son degré est -¥ .
a est une racine du polynôme P ssi P(a ) = 0.

II. exemples

* la fonction nulle : P(x) = 0 pour tout x. d°(P) = -¥ .
* les polynômes de degré £ 0 : P(x) = a0 : ce sont les fonctions constantes.
* les polynômes de degré £ 1 : P(x) = a0 + a1x. Ce sont les fonctions affines, leur représentation graphique est une droite.
* les polynômes de degré 2 : P(x) = a0 + a1x + a2x2, avec a2 non nul. Représentation graphique : une parabole, admettant deux branches paraboliques de direction (Oy)...
* les polynômes de degré 3 : P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, avec a3 non nul.
* e.t.c.

III. propriétés

* A l'infini, un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré.

* Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine (dans R) : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, après avoir étudié les limites de P a l'infini. Ce n'est pas le cas des polynômes de degré pair : x2 + 1 n'a pas de racine (dans R).

* Si P et Q sont des polynômes, alors PQ et P + Q sont des polynômes, et :
    d°(PQ) = d°(P) + d°(Q) ; d°(P + Q) £ max ( d°(P), d°(Q) ).

* Le théorème fondamental est le suivant :
        P(x) est factorisable par x - a ssi a est une racine de P
Ce qui signifie :
        P(x) = (x - a )Q(x) avec Q polynôme non nul Û P(a ) = 0
Dans un sens (Þ ) c'est évident. Dans l'autre, on admet...
Conséquences :

1°) Un polynôme de degré n ³ 1 admet au plus n racines

En effet, soit P un polynôme admettant p racines (distinctes) a1, a2, ... , ap, avec p > n. Alors, d'après le théorème fondamental :
        P(x) = (x - a1)(x - a2) ... (x - ap)Q(x)
avec Q non nul. Le degré de P est alors supérieur ou égal à p, donc supérieur à n. On a donc démontré: si P admet plus de n racines, son degré est supérieur à n. La contraposée de cette proposition donne la conclusion.

2°) Ordre de multiplicité d'une racine : on dit que a est une racine de P d'ordre de multiplicité k ssi : P(x) = (x - a )kQ(x), avec Q(a ) non nul.
Si a est d'ordre 1, on dit que a est une racine simple. Si a est d'ordre 2, on dit que a est une racine double.

Exemple : Soit P(x) = ax2 + bx + c avec a non nul, et soit D = b2 - 4ac.
Si D > 0 , P admet deux racines simples x1 et x2, et P(x) = a(x - x1)(x -x2). Si D = 0, P admet une racine double x1 , et
P(x) = a(x -x1)2.

En reprenant la démonstration du 1°), et sans plus supposer que les racines sont distinctes, on obtient :
Un polynôme de degré n ³ 1 admet au plus n racines, chaque racine étant comptée avec son ordre de multiplicité

3°) algorithme de Horner

a) Calcul de P(a ).
· Dans un premier temps, considérons P polynôme de degré 3 :
        P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
Soit Q(x) = P(x) - P(a ). Q est un polynôme et Q(a ) = 0. Donc, d'après le théorème fondamental (voir plus haut) :
        Q(x) = (x - a ) R(x)
R(x) est de degré 2 : R(x) = b2x2 + b1x + b0. On a donc :
        P(x) - P(a ) = (x - a ) (b2x2 + b1x + b0)
        a3x3 + a2x2 + a1x + a0 - P(a ) = (x - a ) (b2x2 + b1x + b0)
        a3x3 + a2x2 + a1x + a0 - P(a ) = b2x3 + (b1 -a b2)x2 + (b0 - a b1)x - a b0
Par identification, on obtient le système (d'inconnues b0, b1, b2, P(a ) ) :

qui se résout en cascade pour donner :

Disposition pratique :

(Les flèches indiquent une multiplication par a .)

· Dans un deuxième temps, étudions la généralisation à P polynôme de degré n :
        P(x) = anxn + ... + a1x + a0
Soit Q(x) = P(x) - P(a ). Q est un polynôme et Q(a ) = 0. Donc, d'après le théorème fondamental :
        Q(x) = (x - a ) R(x)
R(x) est de degré n - 1 : R(x) = bn-1xn-1 + ... + b1x + b0. On a donc :
        P(x) - P(a ) = (x - a ) (bn-1xn-1 + ... + b1x + b0)
        anxn + ... + a1x + a0 - P(a ) = (x - a ) (bn-1xn-1 + ... + b1x + b0)
        anxn + ... + a1x + a0 - P(a ) = bn-1 xn + (bn-2 -a bn-1)xn-1 + ... + (b0 - a b1)x - a b0
Par identification, on obtient le système ( d'inconnues b0, b1, ... , bn-1, P(a ) ) :

qui se résout en cascade pour donner :

Ceci aboutit à l'algorithme de Horner proprement dit pour le calcul de P(a ) :
 
variables d'entrée : n, degré du polynôme P 
a[0], a[1], ... , a[n], les coefficients de P 
alpha
variables de sortie : x ( = P(alpha) )
traitement : lire n , a[0], a[1], ... , a[n] , alpha ; 
x ¬ a[n] ; 
Pour i variant de n -1 à 0 faire x ¬ a[i] + alpha * x ; 
écrire x ;

Cela donnera en turbo-pascal :

        program horner ;
        var n,i:integer;alpha,x:real;a:array[0..100]of real;
        BEGIN
        writeln('degré du polynôme P ?);readln(n);
        writeln('écrire les coeff du polynôme suivant les puissances
        croissantes');
        for i:= 0 to n do read(a[i]);
        write('alpha=');readln(alpha);
        x:=a[n];
        for i:= n-1 downto 0 do x:=a[i]+alpha*x;
        write('P(alpha)=',x);
        END.

Remarque : le sens de : "for i:= n-1 downto 0 do" est assez évident : pour i variant en descendant de n- 1 à 0, faire". Mais le "downto" est indispensable : "for i:= n-1 to 0 do" donnerait une boucle vide.

b) Factorisation de P
Reprenons l'exemple d'un polynôme de degré 3 :
        P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

Gardons les mêmes notations, et supposons que a soit racine de P. On observe alors que l'on a obtenu une factorisation de P :
        P(x) = (x - a ) (b2x2 + b1x + b0),
car b0, b1, b2 sont fournis par l'algorithme. Voyons sur un exemple :
        P(x) = 2x3 -5x -3
-1 est racine de P, l'algorithme (ou schéma...) fournit :
2  0  -5  -3 
  -2  2  3 
2  -2  -3  0 
P(-1) est bien égal à 0, et on a obtenu :
        P(x) = (x + 1) (2x2 - 2x - 3)
2x2 - 2x - 3 admet deux racines simples : a1 = (1 -Ö 7)/2 et a2 = (1 + Ö 7)/2, la factorisation complète de P est donc :
        P(x) = 2(x + 1)(x-a1)(x - a2)
 

IV. espace vectoriel R[x]

Proposition 1 : a) L'ensemble R[x] des polynômes à coefficients réels est une espace vectoriel pour les opérations usuelles :
(P + Q)(x) = P(x) + Q(x), (l P)(x) = l P(x).
b) R[x] est de dimension infinie, sa base canonique est : (1, x, x2, ..., xn, ...).

Dem :
a) R[x] est en effet un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de R dans R : R[x] est non vide (il contient le polynôme nul), la somme de deux polynômes est un polynôme, le produit d'un polynôme par un réel est un polynôme.
b) Tout polynôme P est combinaison linéaire (finie) de 1, x, x2, ..., et ceci de façon unique : c'est pratiquement la définition d'un polynôme...

Remarquons que de plus le produit et la composée de deux éléments de R[x] est un élément de R[x].

Proposition 2 Pour n dans N, l'ensemble Rn[x] des polynômes de degré £ n est un espace vectoriel pour les opérations usuelles. Rn[x] est de dimension n + 1, de base canonique (1, x, x2, ..., xn).

Dem :
Il suffit de démontrer que Rn[x] est un sev de R[x] : Rn[x] est non vide (il contient le polynôme nul), et si d°(P) £ n, d°(Q) £ n, alors d°(P + Q) £ n, et d°(l P) £ n, avec l réel.

On peut bien sûr considérer des applications linéaires sur ces espaces vectoriels. A titre d'illustration, considérons l'exercice suivant :

Soit j l'application de Rn[x] dans R[x] définie par :
        j (P)(x) = P(x + 1)
a) Déterminer j (P) avec : P(x) = 1, P(x) = x, P(x) = xn, P(x) = x - 1.
b) Montrer que j est un automorphisme de Rn[x].
c) Déterminer la matrice de j dans la base canonique de Rn[x], déterminer j-1, puis sa matrice. En déduire que le tableau de Pascal à l'ordre n définit une matrice inversible, et donner son inverse !

Solution :
a) Si P(x) = 1 pour tout x, alors P(x + 1) = 1, donc j (P)(x) = 1 pour tout x.
Si P(x) = x pour tout x, alors P(x + 1) = x + 1, donc j (P)(x) = x + 1.
Si P(x) = xn pour tout x, alors P(x + 1) = (x + 1)n, donc j (P)(x) = (x + 1)n.
Si P(x) = x - 1 pour tout x, alors P(x + 1) = x - 1 + 1 = x.

b) Il y a en fait trois choses à démontrer :
    (i) j est une application de Rn[x] dans Rn[x]
    (ii) j est linéaire
    (iii) j est bijective

(i) j est une application de Rn[x] dans Rn[x]. Soit P un polynôme de degré £ n :
        P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Alors j (P)(x) = P(x + 1) = a0 + a1(x + 1) + a2 (x + 2)2 + ... + an(x + 1)n
Donc j (P) est un polynôme de degré £ n.

(ii) j est linéaire. Soit P et Q deux polynômes de degré £ n.
 
j (P + Q)(x) = (P + Q)(x + 1) par définition de j
  = P(x + 1) + Q(x + 1) par définition de P + Q
  = j (P)(x) + j (Q)(x) par définition de j

Donc j (P + Q) = j (P) + j (Q). De même j (l P) = lj (P), et j est linéaire.

(iii) j est bijective. En effet, pour Q quelconque dans Rn[x] :
        j (P)(x) = Q(x) Û P(x + 1) = Q(x) Û P(x) = Q(x - 1)
Q admet donc un antécédent unique P, appartenant à Rn[x], défini par P(x) = Q(x - 1).

c) On obtient la matrice de j dans la base canonique de Rn[x] en écrivant en colonne les coordonnées de j (1), j (x), ... ,
j (xn) dans la base 1, x, ... , xn. (Attention, il s'agit  des polynômes 1, x, ... , xn, et non des nombres réels 1, x, ... , xn.) Comme

pour tout p appartenant à {0, 1, ... , n}, (formule du binôme), on obtient, en notant A la matrice recherchée :


On a déterminé dans le b) la bijection réciproque de j : j-1(P) (x) = P(x - 1). On obtient A-1 en écrivant en colonne les coordonnées de j-1(1), j-1(x), ... , j-1(xn) dans la base 1, x, ... , xn. Comme

On obtient :

A est le tableau de Pascal (après transposition dans sa présentation traditionnelle), et A-1 est l'inverse du tableau de Pascal... Exemple avec n = 4 :

Et on vérifie que ça marche !

Remarque : On peut dire directement que le tableau de Pascal à l'ordre n constitue une matrice inversible, et plus précisément que sa seule valeur propre est 1, pourquoi ? Cette matrice est-elle diagonalisable ?