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Introduction
La figure ci-dessus représente :
* en bleu, l'histogramme de la loi binomiale de paramètres 100
et 0,5 c'est à dire les valeurs deP(X = k), avec k entier compris
entre 0 et 100, et X qui suit la loi binomiale B(100 ; 0,5) ;
* en rouge, la courbe représentative de la fonction f de R
dans R définie par :
L'axe horizontal est gradué de 10 en 10 ;
L'axe vertical est gradué de 0,01 en 0,01 ;
A la précision du dessin, la courbe en rouge semble donner des
approximations excellentes des valeurs de la loi binomiale B(100
; 0,5). C'est effectivement le cas...
La somme des longueurs des bâtons bleus est égale à
1 (pourquoi ?). Le pas de la subdivision étant de 1, la "somme de
Riemann" correspondante devrait donner une bonne approximation de l'intégrale
de f sur ]-¥ , +¥
[. C'est effectivement le cas, cette intégrale est elle-même
égale à 1...
Soit à calculer la probabilité d'obtenir un nombre de
"pile" compris entre 40 et 60 quand on lance une pièce de monnaie
équilibrée. Le résultat exact est :
et avec une bonne approximation :
On considère maintenant des variables aléatoires prenant
leurs valeurs dans R "tout entier". On peut considérer par
exemple une variable aléatoire Y dont la "loi" (on dit plutôt
densité)
est précisément la fonction f définie ci-dessus. Par
cela on entend que pour tout a, b tels que -¥ £
a £ b £
+¥ :
En particulier :
I. Variables aléatoires à densité : généralités
1°) Densité. Variables aléatoires à densité.
Définitions. Soit f une fonction de R dans R.
On dit que f est une densité de probabilité ssi :
* f ³ 0 sur R ;
* f est continue sur R sauf en un nombre fini de points ;
Soit f une densité. On dit que la v.a X : W
® R admet f pour densité ssi, pour
tout a, b réels tels que
Propriétés. Soit X de densité f.
* Pour tout a appartenant à R : P(X = a) = 0.
* Pour tout a, b tels que -¥ £
a £ b £
+¥ :
P(a £ X £
b) = P(a < X £ b) = P( a £
X < b) = P(a < X < b).
2°) Fonction de répartition d'une v.a à densité.
Définition. On rappelle que, pour toute v.a X, la fonction
de répartition FX de X est définie, pour tout
x réel, par :
FX(x) = P(X £ x).
Pour les v.a à densité, la fonction de répartition (f.r) revêt une importance particulière.
Soit X une v.a de densité f , de f.r FX : Fx(x) = P(X £ x) pour tout x dans R.
Propriétés.
Théorème (admis) :
* F est continue sur R.
* Partout où f est continue (c'est à dire sur R
privé d'un nombre fini de points), F est dérivable, et F'
= f.
* F est donc de classe C1 sur R privé d'un
nombre fini de points.
* F est croissante sur R.
Réciproquement :
Soit F une fonction de R dans R telle que :
* F est continue sur R.
* F est de classe C1 sur R privé d'un nombre
fini de points. En tout point où F' n'est pas continue, F' admet
des limites finies ou égales à +¥
à gauche et à droite.
* F est croissante sur R.
Alors F est la fonction de répartition d'une v.a à densité
X.
3°) Espérance, variance.
Soit X de densité f.
* Par définition, X admet pour espérance :
ssi l'intégrale à droite est convergente.
* Si j est une fonction strictement monotone
et de classe C1 sur R, alors :
sous réserve que l'intégrale à droite converge.
* Par définition X admet pour moment d'ordre 2 :
sous réserve que l'intégrale à droite converge.
* Soit X admettant une espérance E(X). Par définition,
la variance V(X) est :
V(X) = E( [X - E(X)]2 )
sous réserve que l'intégrale à droite converge.
* Théorème : On suppose que la v.a X admet un moment d'ordre
2. Alors X admet une espérance et une variance, et on a :
V(X) = E(X2) - E(X)2
* Si X et Y sont des v.a à densité admettant des espérances,
alors X + Y admet une espérance, et :
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(aX + b) = aE(X) + b.
* Si X admet une variance :
V(aX + b) = a2V(X)
Le plus simple pour mémoriser est de mettre en parallèle
le cas discret et le cas continu, voir
aide-mémoire dans une nouvelle fenêtre.
II. Variables aléatoires à densité usuelles
1°) Loi exponentielle
La loi exponentielle modélise la durée de fonctionnement "normal" (ou la durée qui sépare deux pannes) de certains appareils. Elle modélise aussi l'intervalle de temps qui sépare l'arrivée de deux clients à un guichet.
Définition. Soit a >
0. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre a
ssi X admet pour densité f telle que :
Tout est à retenir, et à savoir faire... :
* f est bien une densité...
* E(X) = 1/a ; V(X) = 1/a2
* La fonction de répartition FX de X est :
Propriété caractéristique de la loi exponentielle.
Proposition. Soit X une v.a qui suit la loi exponentielle de paramètre
a
, a > 0.
Alors pour tout t, t' ³ 0 : P( X >
t + t' / X > t ) = P( X > t' ).
Réciproquement, soit X une variable aléatoire à
densité à valeurs dans [0, +¥
[ (c'est à dire de densité nulle en dehors de l'intervalle
[0, +¥ [ ). On suppose que l'on a :
Pour tout t, t' ³ 0 : P(X > t) > 0,
et P( X > t + t' / X > t ) = P( X > t' ).
Alors X suit une loi exponentielle.
On dit que la loi exponentielle est une loi sans mémoire, et que ceci est caractéristique de la loi exponentielle (pour les v.a à densité.)
Dem : Pour la partie directe, il s'agit d'une simple vérification.
Pour la réciproque, on considère la fonction G définie
sur
Pour tout t, q ³
0 : G(t + q ) = G(t) G(q
).
* Avec t = 0, il vient : G(0 + q ) = G(0)
G(q ), donc G(0) = 1 (car G est positive).
* On admet que la fonction G est dérivable partout sur [0, +¥
[. En dérivant par rapport à t :
G '(t +q ) = G '(t) G(q
)
ou encore :
Avec t = 0, il vient :
Soit, en considérant les primitives de ces deux fonctions égales
:
ln( G(q ) ) = G'(0) q
+ k
Par conséquent :
G(q ) = exp( G'(0)q
+ k) ) = C exp( G'(0)q )
G(0) = 1, donc C = 1, donc G(q ) = exp(
G'(0)q )
F(q ) = 1 - exp(
G'(0)q )
La fonction de répartition de X est bien celle d'une v.a suivant
une loi exponentielle, de paramètre
Loi exponentielle et loi géométrique.
Soit X une v.a qui suit la loi exponentielle de paramètre
a
, a > 0. On considère la v.a T définie
sur N* par :
{T = n } = {n - 1 £
X £ n}. On a :
Donc P({T = n}) = (e-a
)n- 1 (1 -
e-a ) : T suit la loi géométrique
de paramètre 1 - e-a
.
Loi exponentielle et loi de Poisson.
Des clients se présentent à un guichet.
On suppose que le nombre Nt de clients qui se présentent
au guichet durant un intervalle de temps t suit une loi de Poisson de paramètre
l
t.
Soit Y l'intervalle de temps qui sépare l'arrivée
de deux clients consécutifs au guichet. Y est à valeurs dans
R+,
et on a
Par conséquent, P(Y £
t) = 1 - exp(-l t)
pour t ³ 0, et P(Y £
t) = 0 pour t < 0 : Y suit la loi exponentielle de paramètre
l
.
2°) Loi uniforme sur [a, b].
La loi uniforme est susceptible de modéliser des expériences aléatoires telles que : "on choisit un nombre au hasard entre 0 et 1" (loi uniforme sur [0, 1], "on fait tourner une roue de loterie" (loi uniforme sur [0, 2p ] ou sur [0, 360]), e.t.c.
Définition. Soit a, b appartenant à R tels
que a < b. On dit que X suit la loi uniforme sur [a,b] ssi X admet pour
densité f telle que :
A savoir faire :
* f est bien une densité : l'aire du rectangle de longueur b
-
a et de hauteur 1/(b - a) est égale à
1.
* X admet pour f.r F telle que :
* A retenir, et à savoir faire : l'espérance de X est
:
* Des calculs instructifs conduisent à :
3°) Loi normale
Modélise d'innombrables séries statistiques : taille des individus d'une population, poids des nouveau-nés dans une maternité, Q.I...
Définition. Soit m appartenant à R et s
> 0. On dit que X suit la loi normale de paramètres m et s
ssi X admet pour densité f telle que, pour tout x appartenant à
R
:
Propriétés.
* Il s'agit bien d'une densité (admis).
* X a pour fonction de répartition :
* E(X) = m ; V(X) = s2 (à
retenir.)
Loi normale centrée réduite.
Proposition. Soit X une v.a qui suit la loi normale de paramètres
m et s . Alors la v.a centrée réduite
X*, définie par :
suit la loi normale de paramètres 0 et 1 : la loi normale centrée
réduite.
Dem. Il s'agit de déterminer y
, fonction de répartition de X*. Par définition, on a :
.
On obtient donc :
On effectue le changement de variable y = (t -
m)/s dans cette intégrale.
On a dy =dt/s , et si t varie de -¥
à m + s x, alors y varie de -¥
à x ; donc :
c'est à dire la fonction de répartition de la loi normale
de paramètre 0 et 1.
Propriétés de la loi normale centrée réduite.
Soit X* suivant la loi normale centrée réduite.
-- X* a pour densité la fonction j
telle que :
-- X* a pour f.r la fonction y telle que
:
-- j est bien une densité (admis)
; en d'autres termes :
(intégrale de Gauss.)
-- E(X*) = 0, V(X*) = 1. Démonstration. Pour l'espérance,
la fonction qui à t associe
car la fonction qui à t associe t exp(-
t2/2) est impaire.
Pour E(X*2), la fonction qui à t associe t2
exp(- t2/2) est continue, paire,
positive ou nulle, et négligeable devant 1/t2 au voisinage
de +¥ . X* admet bien un moment d'ordre
2, et on a :
.
On effectue alors une intégration par partie avec :
u = t
u' = 1
v' = t exp(- t2/2)
v = - exp(- t2/2)
u et v sont de classe C1 sur [0, x] . La partie toute intégrée
tend vers 0 quand x tend vers +¥ , et :
D'où la conclusion.
* Ci dessous, sur le même graphique : en bleu la densité
de X*, en rouge la f.r de X*. Les axes sont gradués de 1 en 1. On
observe, et le calcul confirme, que le point de coordonnées (0,
1/2) est centre de symétrie de Cy . En
d'autres termes :
" x Î R,
y
(- x) = 1 -y (x)
Utilisation de la loi normale centrée réduite
Proposition.
a) Soit X qui suit la loi normale de paramètres m et s
. Alors, pour tout x dans R :
Avec y f.r de la loi normale centrée
réduite.
b) " x ÎR,
y
(- x) = 1 -y (x)
Cette proposition permet de ramener les calculs de probabilités
portant sur des variables "gaussiennes" à des calculs portant sur
y (les valeurs en sont tabulées.)
III. convergences et approximations
1°) Inégalité de Bienaymé
-Tchebicheff. Loi faible des grands nombres. Convergence en probabilité.
Inégalité de Bienaymé -Tchebicheff
Théorème. Soit X une variable aléatoire
discrète ou à densité, d'espérance E(X) = m,
de variance V(X) = s2. Alors :
La probabilité qu'une v.a s' écarte de plus de e
de sa valeur moyenne est d'autant plus faible que sa variance est petite
et que e est grand.
Exemple. Soit X qui suit la loi binomiale de paramètre
10 et 1/2. E(X) = 5 et V(X) = 2,5. L'inégalité de B.T fournit,
avec
P(½ X -
5½ ³
4) £ (2,5)/42 »
0,157.
Et le résultat serait le même pour n'importe quelle v.a
d'espérance 5 et de variance 2,5. Ici on connaît la loi de
X, on peut calculer la probabilité effective P(½
X - 5½ ³
4) :
½ X -
5½³ 4 Û
X - 5 ³ 4 ou
X - 5 £- 4
Û
X ³ 9 ou X £
1 Û X Î
{0, 1, 9, 10}. On obtient :
P(½ X -
5½ ³
4) = 22.(0,5)10 » 0,021
La majoration fournie par l'inégalité de B.T est donc
très médiocre, mais elle est universelle, et d'une importance
théorique considérable...
Dem de l'inégalité de B.T :
Cas discret : X(W ) = {x1, x2,
... }
Cas continu : X de densité f.
Loi faible des grands nombres
Théorème. Soit (Xn) une suite de v.a
indépendantes et de même loi, d'espérance m et de variance
s2
positive.
Alors, pour tout e > 0 :
Et par conséquent :
Exemple. On lance une pièce de monnaie indéfiniment,
la probabilité d'obtenir "pile" étant p.
Avec Xi = 1 si on obtient pile au i-ème jet, 0 sinon,
la somme de Xi de i = 1 à i = n est le nombre de "pile"
obtenu au cours des n premiers jets, et Zn la fréquence
d'apparition de "pile" au cours des n premiers jets. On a m = p et s2
= p(1 - p). La loi faible des grands nombres
fournit dans ce cas-là :
(la dernière inégalité car p(1 -
p) £ 1/4 sur [0, 1], comme on s'en persuade
en étudiant la fonction.)
C'est à dire que la probabilité que la fréquence
observée d'apparition du "pile" s'écarte de la fréquence
théorique d'apparition du "pile" (sa probabilité) de plus
de e tend vers 0 quand le nombre de jets tend
vers +¥ , même si e
est très petit : la fréquence observée a toutes les
chances de converger vers la fréquence théorique, ce que
confirme l'expérience.
Démonstration de la loi faible des grands nombres : on applique B.T à Zn, dont l'espérance est égale à m, et la variance à s2/n.
Convergence en probabilité
On dit que la suite de v.a (Xn) converge en probabilité
vers la v.a X ssi :
De la loi faible des grands nombres, on déduit alors :
Soit (Xn) une suite de v.a indépendantes et de même
loi, d'espérance m et de variance s2
positive.
Alors la suite (Zn) des moyennes empiriques définies
par
converge en probabilité vers la v.a certaine m.
2°) convergence en loi. Approximations. Théorème de la limite centrée.
Convergence en loi.
Définition : On dit que la suite (Xn) de v.a converge
en loi vers la v.a X ssi :
en tout point x où la fonction de répartition de X est
continue.
Proposition : Soit Xn et X des v.a prenant leurs valeurs
dans N. Alors la suite (Xn) converge en loi vers X ssi
:
Exemple : On a vu au chapitre III que, avec Xn qui suit la loi B(n, l /n), la suite (Xn) converge en loi vers X qui suit la loi de Poisson de paramètre l .
Approximations
Quand la suite (Xn) converge en loi vers X, pour n assez
grand, P(Xn = k) est une approximation de P(X = k). Les approximations
suivantes ont une grande importance pratique :
* Si n /N < 1/10, la loi H(N, n, p) peut être approchée
par la loi B(n, p) (n/N est le taux de sondage.)
* Si n est petit et N grand, la loi B(n, p) peut être
approchée par la loi P(np).
* Si n est proche de 1/2 et si N est grand, la loi B(n, p) peut
être approchée par la loi N(np, Ö
(np(1-p)) )
* si l est grand, la loi de Poisson P(l
) peut être approchée par la loi normale N(l
,Öl ).
On remarquera que dans les trois derniers exemples, on approche une loi par une autre loi ayant même espérance, et même variance s'il y a besoin d'ajuster deux paramètres.
Les expressions "petit", "grand", "proche de 1/2", ... n'ont aucune signification rigoureuse. Il existe des critères plus précis. L'énoncé devrait vous donner la loi approximante, à charge pour vous de préciser ses paramètres.
Théorème de la limite centrée
Théorème (admis). Soit (Xn) une suite de v.a indépendantes et de même loi, d'espérance m et de variance s2 positive. Alors la variable centrée réduite Sn* associée à Sn = X1 + X2 + ... + Xn converge en loi vers une v.a X qui suit la loi normale centrée réduite.
On a E(Sn) = nm, V(Sn) = ns2.
Donc par définition de "variable centrée réduite"
:
.
Le théorème de la limite centrée signifie donc
que, pour tout a, b dans R tels que a < b :
Il est remarquable que la loi de Xn n'intervienne pas. Ce
théorème "explique" en grande partie l'ubiquité de
la loi normale.