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I. Continuité
Soit x₀ appartenant à I intervalle, f : I ®R une fonction.
Définitions
* f est continue en x₀ ssi :

* f est continue sur I ssi f est continue en tout x₀ Î I.

Théorème a) Soit u et v continue sur I. Alors u + v et u.v sont continues sur I. u/v est continue sur I si de plus v ne s'annule pas sur I.
b) Soit u continue sur I, f continue sur u(I). Alors la composée fou est continue sur I.
c) Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, exponentielle, sont continues sur R. La fonction logarithme népérien  est continue sur ]0, +¥ [. La fonction racine carrée est continue sur [0,+¥ [ (ainsi que les fonctions x^r, r > 0).

Savoir-faire Pour montrer que f est continue sur un intervalle, on utilise le théorème. Aux bornes d'un intervalle, on peut être amené à utiliser la définition.

Prolongement par continuité f continue sur [a, b[ est dite prolongeable par continuité en b ssi f admet une limite finie en b.

II. Recherche de limites
1°) Equivalence
Définition f est équivalent à g au voisinage de b (notation : f ~ _b g) ssi :

ce qui est équivalent à : f(x) = g(x) + h(x) avec h(x) = _b o(g(x)) (h négligeable devant g au voisinage de b), ou encore équivalent à : f(x) = g(x) (1 + e (x)), avec e de limite nulle en b.

Utilisation

Propriétés Les équivalences "passent" aux produits et aux quotients, à l'élévation à la puissance a ; elles ne "passent" pas aux sommes,différences, logarithmes, exponentielles :

Equivalents à connaître
e^x - 1 ~₀ x                 car lim_{x® 0} [ (e^x - 1)/x ] = 1 car la fonction exp est dérivable en 0, de dérivée 1...
ln(x) ~₁ x - 1             car lim_{x® 1}[ ln(x)/(x-1)] = 1 car la fonction ln est dérivable en 1, de dérivée 1 ...
ln( 1 + h) ~₀ h           (poser x = 1 + h dans l'équivalence précédente)
sin(x) ~₀ x                 (pourquoi ?)
tan(x) ~₀ x
polynôme ~_infini terme de plus haut degré
fonction rationnelle ~_infini quotient des termes de plus haut degré

2°)Formes indéterminées classiques
Avec a > 0, n entier naturel :
;

3°) Théorèmes de comparaison

4°) Un théorème d'existence
Soit f une fonction croissante et majorée par M (resp. décroissante et minorée par m) sur l'intervalle [a, b[. Alors f admet une limite finie L en b, et L £ M (resp. L ³ m).

Ce théorème est à rapprocher du théorème analogue sur les suites : une suite croissante majorée est convergente, une suite décroissante minorée est convergente.

5°) Branches infinies

	asymptote d'équation x = b.

f(x) = ax + b + e (x) avec e de limite nulle à l'infini : asymptote d'équation y = ax + b.
 

	étude systématique
	= ¥ : BP de direction (Oy) ;
	= 0: BP de direction (Ox) ;
	= a dans R*:		= b Î R : asymptote d'équation y = ax + b
			= ¥ : BP de direction la droite d'éq y = ax
			autres cas : direction asymptotique suivant la droite d'éq y = ax.

III. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème Soit f continue sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle.

En d'autres termes : Entre deux valeurs que prend une fonction continue sur un intervalle, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires.

Corollaire 1 (théorème de la bijection) Soit f continue et strictement monotone sur un intervalle. Alors f est une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J = f(I). De plus
* f ^-1 : J ® I (définie par f ^-1(y) = x ssi x appartient à I et f(x) = y) est continue et de même sens de variation que f.
* C(f) et C(f ^-1) sont symétriques par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé).
* Si f est dérivable en x₀ et si f ' (x₀) ¹0, alors f ^-1 est dérivable en y₀ = f(x₀) et

On peut retrouver cette dernière formule en composant f et f ^-1 et en dérivant la composée

	x ® f(x) = y ® f -1(y) = x
dérivée :	f '(x)  (f -1)'(y) = 1

D'autre part il est intéressant d'étudier une démonstration intuitive de cette formule :

puis passage à la limite y® y₀ et x® x₀.

Corollaire 2 (étude d'équations) Soit f continue strictement monotone sur l'intervalle [a,b], avec f(a).f(b) < 0. Alors l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle ]a,b[.

Application : méthode de dichotomie, algorithme :

Variables d'entrée :	f continue strictement monotone sur [a,b](avec f(a)f(b)<0) epsilon précision voulue pour la racine
Variable de sortie :	c valeur approchée de la racine à epsilon près
Traitement :	lire a,b,f,epsilon répéter
		c (a+b)/2  si f(a)f(c)<0 faire bc sinon faire ac
	jusqu'à ce que b - a < epsilon écrire c

Exercice : Ecrire en turbo -pascal le programme complet correspondant à l'algorithme ci-dessus. (On donnera des valeurs précises pour a, b, f, a = 0, b = 2, f(x) = x² - 2 par exemple.)

Savoir-faire Equation f(x) = g(x), inéquation f(x) £ g(x).
* Si f et g sont des fonctions rationnelles, factoriser pour se ramener aux premier et deuxième degré.
* Si f et g sont des fonctions irrationnelles, isoler le radical, puis élever au carré.
* Si f ou g sont des fonctions transcendantes, étudier la fonction h = f - g.

Exemples :
* (escl) Soit f la fonction définie sur R par :

Résoudre l'équation f(x) = x, l'inéquation f(x) < g(x).
* Soit f(x) = e^-x. Etudier f, tracer C(f). Déterminer le nombre et le signe des solutions de l'équation f(x) = x. Etudier la position relative de C(f) et de la droite D d'équation y = x.
* Mêmes questions que ci-dessus avec f(x) = exp(-x²).
* (questions très fréquemment posées) Montrer :
    Pour tout x dans R e^x ³ x + 1 ; cas d'égalité.
    Pour tout x > 0 ln(x) ³ x - 1 ; cas d'égalité.

IV. Calcul différentiel
Soit f une fonction définie sur I intervalle, et x₀ Î I
Définitions * f est dérivable en x₀ ssi il existe f '(x₀) dans R tel que :

ce qui équivaut à : f(x₀ + h) = f(x₀) + f '(x₀).h + h.e (h) avec e de limite nulle en 0 (développement limité d'ordre 1 de f en 0).
f est dérivable sur l'intervalle I ssi f est dérivable en tout point point de I.
* Soit n appartenant à N. f est de classe Cⁿ sur I ssi f est n fois dérivable, et f ⁽ⁿ⁾ est continue sur I (on pose f ⁽⁰⁾=f)
* f est de classe C^¥ sur I ssi f est indéfiniment dérivable sur I.

Théorème Soit n appartenant à N, ou n = ¥ .
* Soit f, g dérivable (resp.de classe Cⁿ) sur I. Alors f + g et f.g sont dérivables (resp. de classe Cⁿ) sur I. f/g est dérivable (resp.de classe Cⁿ) sur I si de plus g ne s'annule pas sur I.
* Soit u dérivable (resp.de classe Cⁿ) sur I, f dérivable (resp.de classe Cⁿ) sur u(I). Alors la composée fou est dérivable (resp.de classe Cⁿ) sur I.
* Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, exponentielle sont de classe C^¥ sur R. La fonction logarithme népérien est de classe C^¥ sur ]0, +¥ [. La fonction racine carrée est de classe C^¥ sur ]0, +¥ [, ainsi que les fonctions x^r, r > 0.

Savoir-faire Pour montrer qu'une fonction est dérivable, ou de classe Cⁿ sur un intervalle, on utilise le théorème. Aux bornes de l'intervalle, utiliser éventuellement la définition, ou le

Théorème de prolongement des fonctions de classe C¹ Soit f continue sur [a,b], de classe C¹ sur [a,b[.
* Si f ' admet une limite finie L en b,alors f est de classe C¹ sur [a,b], et f '(b) = L.
* Si f 'admet +¥ ou -¥ pour limite en b, alors f n'est pas dérivable en b, et C(f) admet une (demi-)tangente veticale au point d'abscisse b.

Dérivée seconde
Si f '' > 0 sur I, f est convexe, C(f) est au dessus de ses tangentes, en dessous de ses sécantes.
Si f '' < 0 sur I, f est concave, C(f) est en dessous de ses tangentes, au dessus de ses tangentes.
Si f '' s'annule en x₀ en changeant de signe, le point d'abscisse x₀ est un point d'inflexion pour C(f).

Formule des accroissements finis
Première version : Si m £ f ' £ M sur [a, b], alors
    m(b - a) £ f(b) - f(a) £ M(b - a).
Deuxième version : Si ç f ' ç£ M sur l'intervalle I, alors pour tout a,b dans I,
   ç f(b) - f(a) ç£ Mç b - a ç .

Remarque : Dans la première version, a est inférieur à b (sinon l'intervalle [a,b] est vide). Dans la deuxième version a et b sont dans un ordre quelconque.

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